2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 выпуклый многогранник, линейное отображение
Сообщение04.10.2010, 16:15 
Здравствуйте.

Дано, что $X$ - выпуклый компактный n-мерный многогранник. Как доказать, что $AX$ - выпуклый компактный n-мерный многогранник? Здесь $A$ - m x n матрица.

И еще. Если $y^1, y^2$ - m-мерные векторы, $\lambda \in (0,1)$, правильно ли, что $$max_{x\in X}[\lambda <y^1,Ax>+(1-\lambda) <y^2,Ax>]=\lambda max_{x\in X}<y^1,Ax>+(1-\lambda) max_{x\in X}<y^2,Ax>$$?

Спасибо.

 
 
 
 Re: выпуклый многогранник
Сообщение04.10.2010, 16:37 
Аватара пользователя
Anya90
мы же уже обсуждали тут похожий вопрос с Вами.
Афинное преобразование сохраняет прямые, а значит и нестрогое отношение "между".

Про второй вопрос: посмотрите на плоскости

 
 
 
 Re: выпуклый многогранник
Сообщение04.10.2010, 16:44 
Anya90 в сообщении #359063 писал(а):
Здравствуйте.

Дано, что $X$ - выпуклый компактный n-мерный многогранник. Как доказать, что $AX$ - выпуклый компактный n-мерный многогранник? Здесь $A$ - m x n матрица.

С размерностями явно какая-то ерунда. А если считать, что матрица квадратна и невырожденна, то всё тривиально:

$<\vec l_k,\vec x>\leqslant c_k \quad\Leftrightarrow\quad <{(A^*)}^{-1}\vec l_k,A\vec x>\leqslant c_k$.

 
 
 
 Re: выпуклый многогранник
Сообщение04.10.2010, 18:35 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #359072 писал(а):
С размерностями явно какая-то ерунда

ну, имеется ввиду, что $Ax$ -- это $m$-столбец

 
 
 
 Re: выпуклый многогранник
Сообщение04.10.2010, 19:33 
paha в сообщении #359114 писал(а):
ewert в сообщении #359072 писал(а):
С размерностями явно какая-то ерунда

ну, имеется ввиду, что $Ax$ -- это $m$-столбец

Ну и как тогда тот многогранник будет энмерным?...

 
 
 
 Re: выпуклый многогранник
Сообщение05.10.2010, 00:33 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #359147 писал(а):
Ну и как тогда тот многогранник будет энмерным?...

да уж... многогранник может быть вырожденным, вероятно, ведь про ранг $A$ ничего не сказано

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group