Сложное уравнение.

[Vvp_57]

Найдите пожалуйста числовое алгебраическое выражение для $x$, так что бы выражение:
$\sqrt{x}+\sqrt{x+\frac{2}{\sqrt{x}}}=\sqrt{2x+2\sqrt{2x^2-3+2\sqrt{2x+2\sqrt{2x^2-3+2\sqrt{2x+......}}}}}$
стало тождеством.

[mihailm]

числовое что ли алгебраическое выражение?

[Vvp_57]

mihailm в сообщении #356363 писал(а):

числовое что ли алгебраическое выражение?

Да. Спасибо за подсказку, сейчас попробую исправить.

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #356356 писал(а):

Найдите пожалуйста числовое алгебраическое выражение для $x$, так что бы выражение:
$\sqrt{x}+\sqrt{x+\frac{2}{\sqrt{x}}}=\sqrt{2x+2\sqrt{2x^2-3+2\sqrt{2x+2\sqrt{2x^2-3+2\sqrt{2x+......}}}}}$
стало тождеством.

Обозначим левую/правую часть этого желаемого тождества через $y$. Из вида правой части получаем, что $y$ удовлетворяет уравнению:

$$\left(\frac{y^2 - 2x}2\right)^2 - 2x^2 + 3 = 2y$$

или

$$y^4 - 4xy^2 - 8y - 4 x^2 + 12= 0.$$

Из вида левой части имеем:

$$(y-\sqrt{x})^2 = x+\frac{2}{\sqrt{x}}$$

или

$$xy^4 - 4x^2y^2 - 8xy - 4 = 0.$$

Так как $y$ один и тот же в полученных полиномиальных уравнениях, то их результант $256(x^3 - 3x - 1)^4$ обязан быть равен 0. То есть, $x$ обязан быть корнем уравнения:

$$x^3 - 3x - 1 = 0.$$

Его корнями являются:

$$\begin{cases} x_1 = 2\cos\frac{\pi}9\\ x_2 = \exp \frac{2\pi I}9 - \exp\frac{4\pi I}9 + \exp\frac{8\pi I}9 \\ x_3 = -\exp\frac{2\pi I}9 + \exp\frac{4\pi I}9 + \exp\frac{8\pi I}9 \end{cases} $$

Вероятно, в качестве ответа подразумевается $x=2\cos\frac{\pi}9$.

[Vvp_57]

Спасибо, maxal! Замечательный ответ! Да, подразумевалось выражение
$2\cos \left(\frac{2\pi }{9} \right)$. Потому что два других корня меньше нуля.

[Dimoniada]

Ув. maxal, а почему предполагается, что

$$\left(\frac{y^2 - 2x}2\right)^2 - 2x^2 + 3 = 2y$$

,
а не

$$\left(\frac{y^2 - 2x}2\right)^2 - 2x^2 + 3 = 2\sqrt{2x+2\sqrt{2x^2-3+2y}}$$

?

[maxal]

Dimoniada в сообщении #358861 писал(а):

Ув. maxal, а почему предполагается, что

$$\left(\frac{y^2 - 2x}2\right)^2 - 2x^2 + 3 = 2y$$

Избавьтесь от радикалов в

$$y=\sqrt{2x + 2\sqrt{2x^2 - 3 + 2y}}$$

и получите вышеуказнное тождество.

[Vvp_57]

Очень хочется заметить, что данное уравнение можно решить и без помощи результанта,
тем более что понятие о нем возможно у некоторой части участников(в том числе и меня)
как бы это сказать, по мягче, размытое, примеров конкретных в учебниках мало, как его(результант) искать,
тоже непонятно. Тем не менее если применить модифицированный метод решения уравнения четвертой степени,
то можно в более доступной форме решить и данное уравнение.

[EtCetera]

Vvp_57

Vvp_57 в сообщении #359102 писал(а):

если применить модифицированный метод решения уравнения четвертой степени, то можно в более доступной форме решить и данное уравнение

Не надо так страшно. Если хочется обойтись без результанта, то можно просто

maxal в сообщении #356437 писал(а):

$$y^4 - 4xy^2 - 8y - 4 x^2 + 12= 0.$$

домножить на $x$ и вычесть из

maxal в сообщении #356437 писал(а):

$$xy^4 - 4x^2y^2 - 8xy - 4 = 0.$$

, получив тем самым вожделенное

maxal в сообщении #356437 писал(а):

$$x^3 - 3x - 1 = 0.$$

[Vvp_57]

EtCetera
Браво,EtCetera! Вот теперь решение доступно не только тем кто свободно владеет знаниями по высшей алгебре,
но и всем тем кому просто в удовольствие порешать разные задачки.
Прошу простить меня если напугал выражением: "модифицированный метод решения уравнения четвертой степени".
Действительно, звучит довольно угрожающе.