2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сложное уравнение.
Сообщение26.09.2010, 13:32 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Найдите пожалуйста числовое алгебраическое выражение для $x$, так что бы выражение:
$\sqrt{x}+\sqrt{x+\frac{2}{\sqrt{x}}}=\sqrt{2x+2\sqrt{2x^2-3+2\sqrt{2x+2\sqrt{2x^2-3+2\sqrt{2x+......}}}}}$
стало тождеством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложное уравнение.
Сообщение26.09.2010, 14:09 


19/05/10

3940
Россия
числовое что ли алгебраическое выражение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложное уравнение.
Сообщение26.09.2010, 14:28 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
mihailm в сообщении #356363 писал(а):
числовое что ли алгебраическое выражение?

Да. Спасибо за подсказку, сейчас попробую исправить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложное уравнение.
Сообщение26.09.2010, 18:27 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Vvp_57 в сообщении #356356 писал(а):
Найдите пожалуйста числовое алгебраическое выражение для $x$, так что бы выражение:
$\sqrt{x}+\sqrt{x+\frac{2}{\sqrt{x}}}=\sqrt{2x+2\sqrt{2x^2-3+2\sqrt{2x+2\sqrt{2x^2-3+2\sqrt{2x+......}}}}}$
стало тождеством.

Обозначим левую/правую часть этого желаемого тождества через $y$. Из вида правой части получаем, что $y$ удовлетворяет уравнению:
$$\left(\frac{y^2 - 2x}2\right)^2 - 2x^2 + 3 = 2y$$
или
$$y^4 - 4xy^2 - 8y - 4 x^2 + 12= 0.$$

Из вида левой части имеем:
$$(y-\sqrt{x})^2 = x+\frac{2}{\sqrt{x}}$$
или
$$xy^4 - 4x^2y^2 - 8xy - 4 = 0.$$

Так как $y$ один и тот же в полученных полиномиальных уравнениях, то их результант $256(x^3 - 3x - 1)^4$ обязан быть равен 0. То есть, $x$ обязан быть корнем уравнения:
$$x^3 - 3x - 1 = 0.$$

Его корнями являются:
$$\begin{cases}
x_1 = 2\cos\frac{\pi}9\\
x_2 = \exp \frac{2\pi I}9 - \exp\frac{4\pi I}9 + \exp\frac{8\pi I}9 \\
x_3 = -\exp\frac{2\pi I}9 + \exp\frac{4\pi I}9 + \exp\frac{8\pi I}9 
\end{cases}
$$
Вероятно, в качестве ответа подразумевается $x=2\cos\frac{\pi}9$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложное уравнение.
Сообщение26.09.2010, 19:03 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Спасибо, maxal! Замечательный ответ! Да, подразумевалось выражение
$2\cos \left(\frac{2\pi }{9} \right)$. Потому что два других корня меньше нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложное уравнение.
Сообщение03.10.2010, 22:59 
Аватара пользователя


02/03/08
178
Netherlands
Ув. maxal, а почему предполагается, что
$$\left(\frac{y^2 - 2x}2\right)^2 - 2x^2 + 3 = 2y$$,
а не $$\left(\frac{y^2 - 2x}2\right)^2 - 2x^2 + 3 = 2\sqrt{2x+2\sqrt{2x^2-3+2y}}$$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложное уравнение.
Сообщение04.10.2010, 04:12 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Dimoniada в сообщении #358861 писал(а):
Ув. maxal, а почему предполагается, что
$$\left(\frac{y^2 - 2x}2\right)^2 - 2x^2 + 3 = 2y$$

Избавьтесь от радикалов в
$$y=\sqrt{2x + 2\sqrt{2x^2 - 3 + 2y}}$$
и получите вышеуказнное тождество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложное уравнение.
Сообщение04.10.2010, 18:19 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Очень хочется заметить, что данное уравнение можно решить и без помощи результанта,
тем более что понятие о нем возможно у некоторой части участников(в том числе и меня)
как бы это сказать, по мягче, размытое, примеров конкретных в учебниках мало, как его(результант) искать,
тоже непонятно. Тем не менее если применить модифицированный метод решения уравнения четвертой степени,
то можно в более доступной форме решить и данное уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложное уравнение.
Сообщение04.10.2010, 19:10 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
Vvp_57
Vvp_57 в сообщении #359102 писал(а):
если применить модифицированный метод решения уравнения четвертой степени, то можно в более доступной форме решить и данное уравнение
Не надо так страшно. Если хочется обойтись без результанта, то можно просто
maxal в сообщении #356437 писал(а):
$$y^4 - 4xy^2 - 8y - 4 x^2 + 12= 0.$$
домножить на $x$ и вычесть из
maxal в сообщении #356437 писал(а):
$$xy^4 - 4x^2y^2 - 8xy - 4 = 0.$$
, получив тем самым вожделенное
maxal в сообщении #356437 писал(а):
$$x^3 - 3x - 1 = 0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложное уравнение.
Сообщение04.10.2010, 21:47 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
EtCetera
Браво,EtCetera! Вот теперь решение доступно не только тем кто свободно владеет знаниями по высшей алгебре,
но и всем тем кому просто в удовольствие порешать разные задачки.
Прошу простить меня если напугал выражением: "модифицированный метод решения уравнения четвертой степени".
Действительно, звучит довольно угрожающе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: scwec


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group