Коническая поверхность над эллипсом.

[koky]

Читаю лекции Е.В.Троицкого, добрался до очередной теоремы. Всё было понятно, но вот в конце, после слова "итак"... Во-первых непонятно откуда всплыло предпоследнее уравнение, а во-вторых эти замены..там надо поворачивать, а не переносить. Ну вот я пытался поворачивать и подставлять в правильное уравнение, но получаются такие громоздкие выражения, что я с ними уже второй день вожусь. Может кто подскажет как сделать это полегче? Или ссылку даст на какой-нибудь материал с аналогичной теоремой. Заранее спасибо. Ниже текст теоремы:

Теорема 16.11. Коническая поверхность над эллипсом является конусом второго порядка.

Докозательство. Выберем такую систему координат с центром в О, что плоскость $ \pi$ задаётся уравнением $ z=h\ne0 $. Если мы выберем направления осей Ox и Oy параллельно главным осям эллипса, то уравнение эллипса в плоскости $ \pi$(плоскости эллипса) примет вид:$F(x,y)=a_{11}(x-x_0)^{2} + a_{22}(y-y_0)^{2} - 1=0$, где $0<a_{11}\le a_{22}$. Тогда уравнение конической поверхности над ним: $G(x,y,z)=z^{2}F(\frac{x}{z}h,\frac{y}{z}h)=0$. Действительно, точка (x,y,z), $ z\ne0 $, принадлежит поверхности тогда и только тогда, когда точка $(\frac{x}{z}h,\frac{y}{z}h, h)$ принадлежит кривой, т.е. $F(\frac{x}{z}h,\frac{y}{z}h)=0$. Но при сделанном предположении $ z\ne0 $ данное уравнение равносильно выводимому. Осталось доказать, что при $z=0$ выводимое уравнение определено и его множество решений совпадает с О. Определённость следует из того, что во втором сомножителе степень $\frac{1}{z}$ равна 2 и при умножении пропадает. После умножения уравнение превращается ( при $z=0$) в $h^{2}q(x,y)=0$. Поскольку ассимтотических направлений у эллипса нет, то x=y=0.
Итак,
$G(x,y,z)=z^{2}(a_{11}(\frac{x-x_0}{z}h)^{2} + a_{22}(\frac{y-y_0}{z}h)^{2} -1)=0$. "вот оно всплывшее уравнение"
После замены $x'=x-x_0,y'=y-y_0, z'=z$ "вот эти странные замены" получаем
$G(x',y',z')=a_{11}h^2(x')^{2} + a_{22}h^2(y')^{2} - {z'}^2=0$, т.е. конус.

[paha]

Да, странно... "всплывшим" уравнением должно быть

$$ G(x,y,z)=a_{11}(xh-zx_0)^{2} + a_{22}(yh-zy_0)^{2} -z^2=0, $$

а его уже нетрудно привести к каноническому виду

-- Ср окт 06, 2010 13:27:44 --

Очевидно, автор по ходу поменял вершину конуса с $O(0,0,0)$ на $O'(x_0,y_0,0)$