Рассмотрим задачу:
Имеется включенная лампочка. Известен закон распределения случайной величины

, равной времени отказа лампочки.

лампочка перегорит за время


=

=

=

- т.е.

ведет себя как показательная с.в.
Кроме того, имеется некоторое устройство, которое мгновенно заменяет перегоревшую лампочку на такую же(лампочек в нем бесконечно много). В свою очередь, это устройство тоже может ломаться. Если обозначить

- время отказа устройства, то

- тоже показательный закон. Предполагается, что

не зависит от

.
Требуется вычислить вероятность того, что за время

система сломается(т.е., вначале сломается устройство, потом перегорит лампочка)
Решение:

за время

система сломается

=

за время

сломается устройство, а лампочка перегорит 1 раз

+

за время

сломается устройство, а лампочка перегорит 2 раза

+ ... =
=

,
где

сумма независимых с.в.

;

Известно, что

Ну и все, дальше запутался немного. Может быть, вообще можно как-то легче решить задачу?