тер. вер., сумма вероятностей

[malin]

Рассмотрим задачу:
Имеется включенная лампочка. Известен закон распределения случайной величины $\xi$, равной времени отказа лампочки. $P\{$лампочка перегорит за время$t$$\}$ = $P\{\xi < t\}$= $F_\xi$ = $1 - e^{-\lambda t}$ - т.е. $\xi$ ведет себя как показательная с.в.

Кроме того, имеется некоторое устройство, которое мгновенно заменяет перегоревшую лампочку на такую же(лампочек в нем бесконечно много). В свою очередь, это устройство тоже может ломаться. Если обозначить $\eta$ - время отказа устройства, то $P\{\eta < t\} = F_\eta = 1 - e^{-\mu t}$ - тоже показательный закон. Предполагается, что $\xi$ не зависит от $\eta$.
Требуется вычислить вероятность того, что за время $t$ система сломается(т.е., вначале сломается устройство, потом перегорит лампочка)

Решение: $P\{$ за время $t$система сломается$\}$ = $P\{$ за время $t$сломается устройство, а лампочка перегорит 1 раз$\}$ + $P\{$ за время $t$сломается устройство, а лампочка перегорит 2 раза$\}$ + ... =
= $\sum\limits_{i = 0}^\infty P\{S_k < \eta <S_k + \xi_{k+1} < t\}$,
где $S_k = \xi_1 + ... + \xi_k $ сумма независимых с.в. $\xi_i \sim \xi$; $S_0 = 0$
Известно, что $S_k \sim \Gamma(k, \lambda)$
Ну и все, дальше запутался немного. Может быть, вообще можно как-то легче решить задачу?

[ewert]

По формуле полной вероятности: $P=\int\limits_0^td\tau\,f(\tau)\cdot P_{\tau}(t)$, где $f(\tau)$ -- плотность вероятности выхода из строя ремонтирующего устройства и $P_{\tau}(t)$ -- вероятность перегорания лампочки за промежуток времени $(\tau;t)$.

[malin]

считаем, что $t > \tau, \tau>0, t>0$
$P=\int\limits_0^t\,f(\tau)\cdot P_{\tau}(t)d\tau$ = $\int\limits_0^t\,\mu e^{-\mu\tau}\cdot (F_\xi (t) - F_\xi(\tau)) d\tau$ = $e^{-\lambda}\int\limits_0^t\,\mu e^{-\mu\tau}\cdot (e^\tau - e^t) d\tau$ = $e^{-\lambda}(\int\limits_0^t\,\mu e^{(1-\mu)\tau} d\tau - e^t\int\limits_0^t\,\mu e^{-\mu\tau} d\tau)$ = $e^{-\lambda}(\mu e^{1 -\mu}F_\zeta(t) - e^t F_\eta(t))$, где $\zeta\sim Exp(1)$ - Вроде бы правильно.

Но это все вычисления скучные, я сути не понял.
Объясните, причем здесь формула полной вероятности и нужны ли вообще мои предыдущие рассуждения?Я понимаю формулу полной вероятности так :
Пусть $H_1, H_2, ...$ - полная группа событий ненулевой вероятности, тогда
$P(A) = \sum\limits_i P(A/H_i)\cdot P(H_i)$

[ewert]

malin в сообщении #358701 писал(а):

$\int\limits_0^t\,\mu e^{-\mu\tau}\cdot (F_\xi (t) - F_\xi(\tau)) d\tau$

Нет. Дело в том, что здесь $\mu e^{-\mu\tau}d\tau$ -- это вероятность гипотезы, состоящей в том, что устройство сломается именно за промежуток времени $d\tau$. А второй сомножитель -- это должна быть условная вероятность того, что лампочка перегорит не позже чем через $(t-\tau)$ после того знаменательного события в предположении, что оно случилось. Ну и в любом случае (независимо от этого):

malin в сообщении #358701 писал(а):

$e^{-\lambda}\int\limits_0^t\,\mu e^{-\mu\tau}\cdot (e^\tau - e^t) d\tau$

-- круто же Вы обходитесь с несчастными экспонентами, они этого никак не заслужили...

[malin]

Да, с экспонентами я ошибся, нехорошо получилось..