(Оффтоп)
А что если мера не
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
-конечна? Будет ли полно пространство
![$L_1$ $L_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/9/929ed909014029a206f344a28aa47d1582.png)
?
А что такое в таком случае
![$L_1$ $L_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/9/929ed909014029a206f344a28aa47d1582.png)
?
А что не так с
![$L_1$ $L_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/9/929ed909014029a206f344a28aa47d1582.png)
? Понятие интеграла Лебега определено (скажем, для неотрицательной функции это супремум интегралов от простых функций, не превосходящих данную), буквосочетание
![$\int_X|f|\,d\mu<\infty$ $\int_X|f|\,d\mu<\infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/7/e37df4682ca55a6ea32c813514a39bf082.png)
тоже ...
З.Ы. Кажется, я понял. Если измеримая функция на таком пространстве будет в
![$L_1$ $L_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/9/929ed909014029a206f344a28aa47d1582.png)
, то найдется такое множество
![$E\subset X$ $E\subset X$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/5/fb5356154811e833b23f572dc290105582.png)
, что
![$f=0$ $f=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/e/67ef294ad07f67056a501be1ef0a8b2382.png)
вне
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
, а мера
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
-конечна на
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
. Тогда для всякой фундаментальной последовательности
![$\{f_n\}$ $\{f_n\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/3/ef39a03333b60f396c4a068cb3eeb32c82.png)
возьмем
![$\{E_n\}$ $\{E_n\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/9/109f3f8ef3db12537189382bb137246a82.png)
, и на их объединении тоже получится
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
-конечная мера. (Я еще не всё тут подумал - так, бросок мысли)
(Фтоп)
А для интеграла Римана даже критерий есть
post124766.html#p124766З.Ы. Писалось в те старые добрые времена, когда двойные доллары еще не выставляли формулу на отдельную строчку.