Предельный переход под знаком интеграла

[Padawan]

Предлагаю в эту тему писать кто знает какие хорошие полезные теоремы о предельном переходе под знаком интеграла, о перестановке интегрирования и суммирования и о перемене порядка интегрирования.
Например,
Теорема. Если ряд $\sum\limits_n \int|f_n|\, d\mu$ сходится, то $\int\sum\limits_n f_n d\mu=\sum\limits_n\int f_n \, d\mu$ (мера $\mu$ сигма-конечна).

[AD]

(Кстати)

Задачка. Описать все пары пространств с мерой $\Bigl((X,\mathfrak{M},\mu),(Y,\mathfrak{N},\nu)\Bigr)$, такие, что из существования конечного повторного интеграла $\int_Y\int_Xf(x,y)\,d\mu\,d\nu$ следует существование равного ему повторного интеграла $\int_X\int_Yf(x,y)\,d\nu\,d\mu$.

То есть предыдущий признак гласит, что если $(Y,\mathfrak{N},\nu)=(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},\#)$, то подойдёт любое $\sigma$-конечное $(X,\mathfrak{M},\mu)$.

Как решать - не знаю

(Кстати)

А что если мера не $\sigma$-конечна? Будет ли полно пространство $L_1$?

[ewert]

(Оффтоп)

AD в сообщении #358184 писал(а):

А что если мера не $\sigma$-конечна? Будет ли полно пространство $L_1$?

А что такое в таком случае $L_1$?

[terminator-II]

Padawan в сообщении #358041 писал(а):

Предлагаю в эту тему писать кто знает какие хорошие полезные теоремы о предельном переходе под знаком интеграла, о перестановке интегрирования и суммирования и о перемене порядка интегрирования.
Например,
Теорема. Если ряд $\sum\limits_n \int|f_n|\, d\mu$ сходится, то $\int\sum\limits_n f_n d\mu=\sum\limits_n\int f_n \, d\mu$ (мера $\mu$ сигма-конечна).

Folland Theo 2.25 Только там сигма-конечность не нужна.

[AD]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #358189 писал(а):

AD в сообщении #358184 писал(а):

А что если мера не $\sigma$-конечна? Будет ли полно пространство $L_1$?

А что такое в таком случае $L_1$?

А что не так с $L_1$? Понятие интеграла Лебега определено (скажем, для неотрицательной функции это супремум интегралов от простых функций, не превосходящих данную), буквосочетание $\int_X|f|\,d\mu<\infty$ тоже ...

З.Ы. Кажется, я понял. Если измеримая функция на таком пространстве будет в $L_1$, то найдется такое множество $E\subset X$, что $f=0$ вне $E$, а мера $\mu$ $\sigma$-конечна на $E$. Тогда для всякой фундаментальной последовательности $\{f_n\}$ возьмем $\{E_n\}$, и на их объединении тоже получится $\sigma$-конечная мера. (Я еще не всё тут подумал - так, бросок мысли)

(Фтоп)

А для интеграла Римана даже критерий есть
post124766.html#p124766

З.Ы. Писалось в те старые добрые времена, когда двойные доллары еще не выставляли формулу на отдельную строчку.

[Padawan]

Напишу для порядка несколько стандартных теорем
Теорема А. Лебега. Если $|f_n|\leqslant\varphi$, где $\int\varphi\, d\mu<+\infty$, то $\lim\limits_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int \lim\limits_{n\to\infty} f_n\,d\mu$ (мера $\mu$ сигма-конечна).
Теорема Б. Леви. Если $f_1\leqslant f_2\leqslant\ldots\leqslant f_n\leqslant\ldots$, и $\int f_n\, d\mu \leqslant K<+\infty$, $n=1,2,\ldots$, то почти всюду существует конечный предел $\lim\limits_{n\to\infty} f_n$ и $\lim\limits_{n\to\infty}\int f_n\, d\mu=\int \lim\limits_{n\to\infty} f_n\, d\mu$ (мера $\mu$ сигма-конечна).
Теорема Д. Витали. Пусть мера $\mu$ конечна. Если последовательность интегрируемых функций $\{f_n\}$ имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы (т.е. для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что если $\mu (e)<\delta$, то $\left|\int\limits_e f_n\, d\mu\right|<\varepsilon$ для всех $n=1,2,\ldots$), и $f_n\to F$ по мере, то $F$ интегрируема и $\lim\limits_{n\to\infty}\int f_n\, d\mu=\int F\, d\mu$.
Большим недостатком последней теоремы является конечность меры .

-- Сб окт 02, 2010 21:02:15 --

terminator-II в сообщении #358192 писал(а):

Padawan в сообщении #358041 писал(а):

Предлагаю в эту тему писать кто знает какие хорошие полезные теоремы о предельном переходе под знаком интеграла, о перестановке интегрирования и суммирования и о перемене порядка интегрирования.
Например,
Теорема. Если ряд $\sum\limits_n \int|f_n|\, d\mu$ сходится, то $\int\sum\limits_n f_n d\mu=\sum\limits_n\int f_n \, d\mu$ (мера $\mu$ сигма-конечна).

Folland Theo 2.25 Только там сигма-конечность не нужна.

Наверняка подразумевается, см. что он до этого пишет.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #358364 писал(а):

Наверняка подразумевается, см. что он до этого пишет.

Будет лучше если Вы посмотрите доказательство

[Padawan]

А у меня нет этой книги. Буду рад ссылке. Я при доказательстве использовал теоремы Лебега и Леви (см. выше). А они требуют сигма-конечности.

[terminator-II]

http://www.rapidshare.ru/1643956

[Padawan]

И правда, все эти теоремы без сигма-конечности доказывается. А я то думал, она существенна.

-- Сб окт 02, 2010 22:56:01 --

Теорема для неабсолютно сходящихся несобственных интегралов
Теорема. Пусть на любом конечном отрезке $[a,\lambda]$ верно $\int\limits_a^\lambda \sum\limits_n f_n\, dx=\sum\limits_n\int\limits_a^\lambda f_n\, dx$. Если $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\sum\limits_n\int\limits_\lambda^{+\infty} f_n\, dx=0$, то $\int\limits_a^{+\infty} \sum\limits_n f_n\, dx=\sum\limits_n\int\limits_a^{+\infty} f_n\, dx$ (предполагается, что все написанные несобственные интегралы сходятся).

[Padawan]

Да, её-то надо обязательно помянуть
Теорема Фубини.
1) Если существует конечный двойной интеграл $\int\int f(x,y)\,d\mu_x\otimes d\nu_y$, то существуют и равны между собой оба повторных интеграла $\int d\mu_x\int f(x,y) d\nu_y=\int d\nu_y\int f(x,y) d\mu_x=\int\int f(x,y)\,d\mu_x\otimes d\nu_y$. Внутренние интегралы существуют $\mu_x$ и $\nu_y$ - почти всюду соответственно.
2) (теорема Тонелли) Если функция $f(x,y)$ $\mu_x\otimes\nu_y$-измерима и $\int d\mu_x\int |f(x,y)| d\nu_y<+\infty$, то существует конечный двойной интеграл $\int\int f(x,y)\,d\mu_x\otimes d\nu_y$, и далее см. 1)
(меры $\mu_x$ и $\nu_y$ сигма-конечны).
Теорема из первого сообщения -- частный случай 2).

[Padawan]

Padawan в сообщении #358414 писал(а):

Теорема для неабсолютно сходящихся несобственных интегралов
Теорема. Пусть на любом конечном отрезке $[a,\lambda]$ верно $\int\limits_a^\lambda \sum\limits_n f_n\, dx=\sum\limits_n\int\limits_a^\lambda f_n\, dx$. Если $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\sum\limits_n\int\limits_\lambda^{+\infty} f_n\, dx=0$, то $\int\limits_a^{+\infty} \sum\limits_n f_n\, dx=\sum\limits_n\int\limits_a^{+\infty} f_n\, dx$ (предполагается, что все написанные несобственные интегралы сходятся).

Аналогичная теорема для интегрирования по параметру
Теорема. Пусть на любом конечном отрезке $[a,\lambda]$ верно $\int\limits_a^\lambda\,dx\int\limits_{0}^{+\infty} f(x,y)\,dy=\int\limits_{0}^{+\infty}\,dy\int\limits_a^\lambda f(x,y)\,dx$. Если $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int\limits_0^{+\infty}\,dy\int\limits_\lambda^{+\infty} f(x,y)\,dx=0$, то $\int\limits_a^{+\infty}\,dx\int\limits_{0}^{+\infty} f(x,y)\,dy=\int\limits_{0}^{+\infty}\,dy\int\limits_a^{+\infty} f(x,y)\,dx$ (предполагается, что все написанные несобственные интегралы сходятся).

(Оффтоп)

Пример. Обосновать перестановку порядка интегрирования в повторном интеграле $\int\limits_0^{+\infty}\sin x\,dx\int\limits_0^{+\infty} e^{-xy}\,dy$.
На любом конечном отрезке $[0,\lambda]\ni x$ перестановка законна, т.к. $\int\limits_{0}^\lambda\, dx\int\limits_0^{+\infty} |\sin x \, e^{-xy}|\,dy\leqslant \int\limits_{0}^\lambda x\, dx\int\limits_0^{+\infty} e^{-xy}\,dy=\int\limits_{0}^\lambda x \, dx\ \dfrac{1}{x}=\lambda<+\infty$.
Проверим условие $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int\limits_0^{+\infty}dy\int\limits_{\lambda}^{+\infty}\sin x\, e^{-xy}\, dy$. Итегрируя по частям, имеем

$$\left|\int\limits_{\lambda}^{+\infty}\sin x\, e^{-xy}\, dx\right|=\left|-\int\limits_\lambda^{+\infty}e^{-xy}\,d\cos x\right|=\left|e^{-\lambda y}\cos\lambda}-y\int\limits_\lambda^{+\infty}\cos x\,e^{-xy}\,dx\right|\leqslant e^{-\lambda y}+y\dfrac 1y e^{-\lambda y}=2e^{-\lambda y}$$

Осталось очевидное равенство $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int\limits_0^{+\infty} 2e^{-\lambda y}\,dy=0$ (по теореме Лебега) .

[fom4ik]

Padawan в сообщении #359317 писал(а):

Padawan в сообщении #358414 писал(а):

Теорема для неабсолютно сходящихся несобственных интегралов
Теорема. Пусть на любом конечном отрезке $[a,\lambda]$ верно $\int\limits_a^\lambda \sum\limits_n f_n\, dx=\sum\limits_n\int\limits_a^\lambda f_n\, dx$. Если $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\sum\limits_n\int\limits_\lambda^{+\infty} f_n\, dx=0$, то $\int\limits_a^{+\infty} \sum\limits_n f_n\, dx=\sum\limits_n\int\limits_a^{+\infty} f_n\, dx$ (предполагается, что все написанные несобственные интегралы сходятся).

Аналогичная теорема для интегрирования по параметру
Теорема. Пусть на любом конечном отрезке $[a,\lambda]$ верно $\int\limits_a^\lambda\,dx\int\limits_{0}^{+\infty} f(x,y)\,dy=\int\limits_{0}^{+\infty}\,dy\int\limits_a^\lambda f(x,y)\,dx$. Если $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int\limits_0^{+\infty}\,dy\int\limits_\lambda^{+\infty} f(x,y)\,dx=0$, то $\int\limits_a^{+\infty}\,dx\int\limits_{0}^{+\infty} f(x,y)\,dy=\int\limits_{0}^{+\infty}\,dy\int\limits_a^{+\infty} f(x,y)\,dx$ (предполагается, что все написанные несобственные интегралы сходятся).

(Оффтоп)

Пример. Обосновать перестановку порядка интегрирования в повторном интеграле $\int\limits_0^{+\infty}\sin x\,dx\int\limits_0^{+\infty} e^{-xy}\,dy$.
На любом конечном отрезке $[0,\lambda]\ni x$ перестановка законна, т.к. $\int\limits_{0}^\lambda\, dx\int\limits_0^{+\infty} |\sin x \, e^{-xy}|\,dy\leqslant \int\limits_{0}^\lambda x\, dx\int\limits_0^{+\infty} e^{-xy}\,dy=\int\limits_{0}^\lambda x \, dx\ \dfrac{1}{x}=\lambda<+\infty$.
Проверим условие $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int\limits_0^{+\infty}dy\int\limits_{\lambda}^{+\infty}\sin x\, e^{-xy}\, dy$. Итегрируя по частям, имеем

$$\left|\int\limits_{\lambda}^{+\infty}\sin x\, e^{-xy}\, dx\right|=\left|-\int\limits_\lambda^{+\infty}e^{-xy}\,d\cos x\right|=\left|e^{-\lambda y}\cos\lambda}-y\int\limits_\lambda^{+\infty}\cos x\,e^{-xy}\,dx\right|\leqslant e^{-\lambda y}+y\dfrac 1y e^{-\lambda y}=2e^{-\lambda y}$$

Осталось очевидное равенство $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int\limits_0^{+\infty} 2e^{-\lambda y}\,dy=0$ (по теореме Лебега) .

Подскажи пожалуйста литературу где есть эти теоремы.

-- 10.11.2011, 21:20 --

Padawan в сообщении #359198 писал(а):

Да, её-то надо обязательно помянуть
Теорема Фубини.
1) Если существует конечный двойной интеграл $\int\int f(x,y)\,d\mu_x\otimes d\nu_y$, то существуют и равны между собой оба повторных интеграла $\int d\mu_x\int f(x,y) d\nu_y=\int d\nu_y\int f(x,y) d\mu_x=\int\int f(x,y)\,d\mu_x\otimes d\nu_y$. Внутренние интегралы существуют $\mu_x$ и $\nu_y$ - почти всюду соответственно.
2) (теорема Тонелли) Если функция $f(x,y)$ $\mu_x\otimes\nu_y$-измерима и $\int d\mu_x\int |f(x,y)| d\nu_y<+\infty$, то существует конечный двойной интеграл $\int\int f(x,y)\,d\mu_x\otimes d\nu_y$, и далее см. 1)
(меры $\mu_x$ и $\nu_y$ сигма-конечны).
Теорема из первого сообщения -- частный случай 2).

А есть теоремы о возможности перестановки повторных интегралов?