Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Если разрешить повторение чисел, то идеальный квдарат 8-го порядка из простых чисел построить очень просто:

7 13 431 503 631 523 251 281
227 241 577 641 449 421 67 17
641 577 241 227 17 67 421 449
503 431 13 7 281 251 523 631
29 137 409 379 653 647 229 157
211 239 593 643 433 419 83 19
643 593 239 211 19 83 419 433
379 409 137 29 157 229 647 653

Хоть и с одинаковыми числами, но для анализа всё равно годится.

Примитивный квадрат для идеального квадрата завтра попробую построить.

[Nataly-Mak]

Ничего не понимаю!

Ну, понятно, что преобразование Россера не дало примитивный квадрат для классического идеального квадрата, который здесь был показан (точнее, обратное ему преобразование). Этот идеальный квадрат построен не по Россеру и не составлен из 4-х пандиагональных квадратов 4-го порядка.

Но вот чуть выше я привела идеальный квадрат из простых чисел (с повторяющимися числами). Сейчас попыталась примерить к нему преобразование обратное преобразованию Россера (тому самому, с помощью которого получен пандиагональный квадрат из примитивного; эта пара квадратов тоже выше показана). Увы! Примитивный квадрат у меня не получается

В чём дело? Ведь этот идеальный квадрат из простых чисел составлен из 4-х пандиагональных квадратов 4-го порядка по решётке Россера.

Pavlovsky
вы у нас спец по примитивным квадратам. Посмотрите, пожалуйста, на эти примеры. Вы можете объяснить, где тут собака зарыта?

______

Вчера весь вечер пыталась свести количество независимых переменных при построении идеального квадрата 8-го порядка к 18. Кажется, мне это удалось, с использованием всех зависимостей. Я работаю пока с классическим идеальным квадратом. Но надо проверить, вчера уже просто перегрелась с этими переменными, раз десять начинала снова строить квадрат.

Зависимости в квадрате очень интересные всплывают. Там и по решёткам, и другие. Одну интересную зависимость я увидела в идеальном квадрате из простых чисел, который выше приведён. В нём сразу бросается в глаза связь между первой и четвёртой строками и аналогичная - между второй и третьей.

Сейчас буду проверять, что я вчера поздно вечером напридумывала

[Nataly-Mak]

Ни одного ответа

А я закончила писать новую программу построения идеального квадрата 8-го порядка. Мне удалось свести количество независимых переменных к 15 (а в предыдущей программе у меня было 22).
Тест программа успешно прошла, выдала вот такой классический идеальный квдарат:

1 32 41 56 49 48 25 8
63 50 7 10 31 18 39 42
4 13 60 53 36 45 28 21
62 35 22 11 14 19 38 59
6 27 46 51 54 43 30 3
44 37 20 29 12 5 52 61
23 26 47 34 55 58 15 2
57 40 17 16 9 24 33 64

Замечу, что я составляю квадраты именно такой структуры, как в этом классическом идеальном квадрате. Использовала все зависимости, которые есть в этом квадрате, что позволило мне уменьшить число независимых переменных до 15.
Но существует ли идеальный квадрат из простых чисел такой структуры? Интересный вопрос!

Теперь опять надо проверять наборы комплементарных пар из простых чисел. Я по предыдущей программе уже проверяла, но программа очень долго выполнялась. Надеюсь, что новая программа будет быстрее выполняться, хотя 15 вложенных циклов это тоже немало. Но... вот всё удивляюсь на программу построения пандиагональных квадратов 8-го порядка, в ней 24 вложенных цикла, а решения находились за секунды. Удивительно!

Это ещё одно подтверждение того, что в подобных построениях абсолютно ничего не предсказуемо. Удачно сложились числа и - решение находится сразу. Не сложились и нет решения, часами будет программа крутиться.

[Nataly-Mak]

И вот он - первый идеальный квадрат 8-го порядка из простых чисел

67 59 641 487 617 419 277 73
643 379 227 137 181 263 347 463
53 311 409 613 379 431 293 151
571 557 29 97 157 193 389 647
13 271 467 503 563 631 103 89
509 367 229 281 47 251 349 607
197 313 397 479 523 433 281 17
587 383 241 43 173 19 601 593

Магическая константа 2640.
В минимальности не уверена. Я взяла ту же константу, с которой построила первый пандиагональный квадрат 8-го порядка. Это 41 комплементарная пара. Программа выполнялась недолго, минут 15. Всё-таки 15 вложенных циклов - это гораздо легче, чем 22.

Теперь надо попытаться построить с меньшей константой.

-- Чт сен 30, 2010 20:30:25 --

Сейчас заглянула в Интернет, поискала нетрадиционные совершенные квадраты. Гугл вывел меня на мою статью "Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел"

Нашла в это статье такой совершенный квадрат 8-го порядка из простых чисел (только в нём много одинаковых чисел):

5 61 5 61 5 61 5 61
13 53 13 53 13 53 13 53
19 47 19 47 19 47 19 47
23 43 23 43 23 43 23 43
61 5 61 5 61 5 61 5
53 13 53 13 53 13 53 13
47 19 47 19 47 19 47 19
43 23 43 23 43 23 43 23

А вот построить совершенный квадрат из различных простых чисел мне пока не удалось даже 6-го порядка, а 8-го я ещё и не пыталась.

[Nataly-Mak]

Решила посмотреть, что же всё-таки с идеальными квадратами 7-го порядка из простых чисел. Почему они не составляются? 8-го порядка вот уже получился квадрат, а 7-го порядка никак не получается.

Оставила на время программу, основанную на использовании примитивного квадрата. Написала другую программу, на основе классического идеального квадрата. В программе получилось 11 независимых переменных. Классические идеальные квадраты она строит, то есть тестирование прошла. Например, такой классический идеальный квадрат выдаёт:

6 28  43   37  31   18  12
30  17   11  5   27  49   36
26  48   42  29   16  10   4
15  9  3  25  47   41  35
46  40  34  21   8  2  24
14  1   23  45   39  33   20
38  32   19  13   7  22  44

Квадратов штук 6 всего программа строит.
А программу я писала на основе такого классического идеального квадрата:

20  28  29  37  45  4  12 
 44  3  11  19  27  35  36 
 26  34  42  43  2  10  18 
 1  9  17  25  33  41  49 
 32  40  48  7  8  16  24 
 14  15  23  31  39  47  6 
 38  46  5  13  21  22  30

Этот квадрат построен из обратимого квадрата с помощью матричного преобразования (взят из моей статьи "Построение идеальных квадратов из обратимых").

Не знаю, что даст новая программа для простых чисел. Сейчас буду экспериментировать. Программа работает довольно быстро, для небольшого количества комплементарных пар. А вот для большого количества уже не так быстро

[Nataly-Mak]

У меня появляется нехорошее подозрение

К примеру, для магических квдаратов 3-го порядка мы имеем: чтобы набор из 9 чисел был пригоден для составления магического квдарата 3-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы эти числа образовывали три арифметические прогрессии длины 3 с одинаковой разностью такие, что первые члены этих прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию.

Не имеем ли мы такое же для идеальных квадратов 7-го порядка?
Ну, в одну сторону точно имеем. Для построения идеального квадрата 7-го порядка достаточно, чтобы набор из 49 чисел образовывал арифметические прогрессии указанного вида.

А вот в другую сторону? Является ли это условие необходимым для построения идеального квадрата 7-го порядка?

Уж очень мне подозрительно, что идеальный квадрат 7-го порядка из простых чисел у меня никак не составляется ни по первой, ни по второй программе. Что-то тут не так

Из произвольных натуральных чисел пожалуйста, хоть целую дюжину идеальных квадратов могу построить. Например,

53 75 83 105 127 9 31
125 7 29 51 73 95 103
71 93 115 123 5 27 49
3 25 47 69 91 113 135
89 111 133 15 23 45 67
35 43 65 87 109 131 13
107 129 11 33 55 63 85

Этот квадрат, конечно, составлен из чисел арифметических прогрессий указанного вида.

Кто может построить идеальный квадрат 7-го порядка пока хотя бы из произвольных натуральных чисел, чтобы он был составлен не из чисел 7 арифметических прогрессий указанного вида
Для опровержения моей гипотезы нужен контр-пример.

Если же моя гипотеза окажется верной, то задача построения идеального квадрата 7-го порядка из простых чисел сведётся к поиску 7 арифметических прогрессий указанного вида. И никакие другие программы тут ничего не дадут.

[maxal]

maxal в сообщении #350015 писал(а):

Я тут неспешно отсеял магические суммы 43246, 45514, 48160 для идеального квадрата 7x7 из смитов.

Суммы 51814, 52066, 54334 также отсеялись. Следующая по росту: 56098
Пока приостанавливаю изыскания.

-- Fri Oct 01, 2010 12:00:03 --

Nataly-Mak в сообщении #357969 писал(а):

А вот в другую сторону? Является ли это условие необходимым для построения идеального квадрата 7-го порядка?

Это легко проверить - берете общую формулу для такого квадрата и вычисляете попарные разности между элементами. Если окажется, что как минимум $7\cdot 6=42$ разности (то есть, по 6 разностей на 7 прогрессий, если таковые имеются) совпадают, и участвующие в них элементы можно выстроить в 7 арифметических прогрессий - то вы правы. Если же стольких разностей нет или выстроить не удается, то - увы.

[Nataly-Mak]

Рассматриваю идеальные квадраты 7-го порядка со всех сторон.
Гипотеза моя не подтвердилась, ибо вот идеальный квадрат, построенный хотя и из чисел арифметических прогрессий, но первые члены этих прогрессий не образуют арифметическую прогрессию.

37 62 73 87 94 16 23
92 14 21 35 60 85 85
58 83 97 90 12 19 33
10 17 31 56 81 95 102
79 93 100 22 15 29 54
27 27 52 77 91 98 20
89 96 18 25 39 50 75

В квадрате есть одинаковые числа, но это не важно, можно добиться того, чтобы все числа были различны.

Однако эти прогрессии всё равно не произвольные, их первые члены связаны определённым условием. Обозначим первые члены прогрессий a_i, i =1, 2, 3, ... 7. Они связаны следующим условием:
a_1 + a_7 = a_2 + a_6 = a_3 + a_5 = 2*a_4.

Может быть, наличие таких арифметических прогрессий тоже является только достаточным условием для построения идеального квадрата 7-го порядка.
Пока не знаю.
Но уже легче. Можно попытаться найти такие прогрессии из простых чисел.

_____
Пока писала ответ, появилось сообщение maxal'а.

[Nataly-Mak]

Вот идеальный квадрат 7-го порядка:

94331 103877 111953 182747 205607 677 23537
205397 467 23327 94121 103667 113213 182537
103457 113003 183797 205187 257 23117 93911
47 22907 93701 103247 112793 183587 206447
112583 183377 206237 1307 22697 93491 103037
23957 93281 102827 112373 183167 206027 1097
182957 205817 887 23747 94541 102617 112163

Нет, пока не из простых чисел, хотя больше половины чисел в нём простые.

Взяла арифметические прогрессии из простых чисел с разностью 210 (часть из них найдена maxal'ем, и я немного добавила). Но только 5 прогрессий удовлетворяют нужному условию (см. условие выше). Остальные две прогрессии пришлось взять не из простых чисел.
Но для анализа пример годится.

На первый взгляд можно подумать, что квадрат составлен из простых чисел. Обман, иллюзия

Да, прогрессии такие:

47, 257, 467, 677, 887, 1097, 1307
22697, 22907, 23117, 23327, 23537, 23747, 23957
93281, 93491, 93701, 93911, 94121, 94331, 94541
102617, 102827, 103037, 103247, 103457, 103667, 103877
111953, 112163, 112373, 112583, 112793, 113003, 113213
182537,  182747,  182957,  183167,  183377,  183587,  183797 
205187,  205397,  205607,  205817,  206027,  206237,  206447

Три прогрессии сверху и две снизу полностью из простых чисел.

Как вы думаете, коллеги, сложно найти 7 таких прогрессий, полностью состоящих из простых чисел?

maxal
к вам такая просьба. Выложите, пожалуйста, количество независимых переменных для всех видов квадратов порядков 4 - 9 (какие у вас есть).

Такой вопрос интересует. Если, например, для пандиагонального квадрата 8-го порядка мы имеем в общей формуле 36 независимых переменных, можно ли утверждать, что для идеального квадрата их будет в два раза меньше (засчёт ассоциативности)?
Как я уже сообщала, в своих программах мне удалось свести количество независимых переменных для идеального квадрата 8-го порядка к 15, для идеального квадрата 9-го порядка - к 11, для идеального 7-го порядка - к 7, для пандиагонального квадрата 8-го порядка - к 24.

Идеальный квадрат 8-го порядка из простых чисел удалось построить, а вот порядок 7 сопротивляется

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #358171 писал(а):

Если, например, для пандиагонального квадрата 8-го порядка мы имеем в общей формуле 36 независимых переменных, можно ли утверждать, что для идеального квадрата их будет в два раза меньше (засчёт ассоциативности)?

Для $n=4,5,\dots,10$ количество независимых переменных в общей формуле равно:
3, 5, 9, 13, 19, 25, 33
Общая формула для числа независимых неизвестных тут такая: $1+\left\lfloor \frac{(n-2)^2}{2}\right\rfloor$.

Если же магическая сумма предполагается известной, то всё на единицу меньше.

[Nataly-Mak]

Спасибо.

Значит, правильно: для идеальных квадратов количество независимых переменных (при заданной магической константе) в два раза меньше, чем для пандиагональных. Это в общей формуле. Однако если рассматривать некоторые частные структуры квадратов, то количество независимых переменных можно уменьшить.

[Nataly-Mak]

Посмотрела на идеальный квадрат 5-го порядка из простых чисел. В нём вообще нет никаких прогрессий.
Можно предположить, что и идеальный квадрат 7-го порядка тоже составится из простых чисел, не образующих арифметических прогрессий.

Опять возвращаюсь к своей первой программе, основанной на примитивном квадрате. Здесь вроде всё чётко: составляется примитивный квадрат с учётом ассоциативности. Далее применяется к этому квадрату преобразование Россера и идеальный квадрат готов.
Программу тестировала много раз и на классических, и на нетрадиционных идеальных квадратах. Сейчас ещё раз протестировала. Ввела набор тех чисел, из которых составлен только что показанный идеальный квадрат почти из простых чисел. И для этого набора программа примитивный квадрат построила.

Почему же из простых чисел квадрат не хочет составляться?

Замечу, что в этой программе количество независимых переменных равно всего 6. Поэтому программа выполняется очень быстро. Я уже проверила потенциальные магические константы для простых чисел до S = 34223. Идеальный квадрат не найден.

Тут есть ещё один момент, о котором я уже говорила. Повторю, ибо это важный момент.
Может быть, существует такой идеальный квадрат из простых чисел, для которого нельзя составить примитивный. Ну, то есть это нерегулярный идеальный квадрат. Тогда моя программа такой квадрат не сможет найти.

Но существует ли нерегулярный идеальный квадрат 7-го порядка? Интересный вопрос! Кто знает ответ?

[Nataly-Mak]

Уф! Замучилась с этой программой. Программа-то не виновата, квадрат не хочет составляться

Сначала гоняла программу, вставляя числа по порядку (в центральную ячейку), потом мне это надоело и я стала прыгать. Но и опять ничего... Тогда пошла на компромисс: убрала в программе для последних 6 чисел примитивного квадрата проверку на принадлежность массиву. Только так удалось получить первый примитивный квадрат:

251  2027  2357  2687  4463  587  4127 
 5711  7487  7817  8147  9923  6047  9587 
 13691  15467  15797  16127  17903  14027  17567 
 7901  9677  10007  10337  12113  8237  11777 
 2111  3887  4217  4547  6323  2447  5987 
 10091  11867  12197  12527  14303  10427  13967 
 15551  17327  17657  17987  19763  15797  4127

Ещё не превратила его в идеальный.
Идеальный квадрат, который получится из данного примитивного квадрата, ещё ближе к искомому квадрату, в квадрате всего три числа не простые!
Магическая константа квадрата равна 70049.

Это ещё один пример для анализа.
Чтобы получить из этого примитивного квадрата идеальный, надо применить к нему преобразование Россера, то самое, с помощью которого получаем пандиагональные квадраты из примитивных.

-- Сб окт 02, 2010 21:02:55 --

Так, всё неправильно

Где-то я допустила ошибку в программе, когда убирала проверку последних чисел на принадлежность массиву.
Сейчас стала превращать квадрат в идеальный, квадрат даже магическим не получился. Стала проверять примитивный квадрат, а в нём по диагонали нет нужной суммы.

Всё, пошла спать. Завтра утром разберусь, где напортачила.

-- Сб окт 02, 2010 21:08:16 --

Уже вижу баг, два числа 4127. Просто какое-то число не туда записала. Очевидно, самое последнее. Нет, нельзя так много работать

[Nataly-Mak]

Кажется, теперь всё правильно.
Примитивный квадрат:

251 2027 2357 2687 4463 587 4127
5711 7487 7817 8147 9923 6047 9587
13691 15467 15797 16127 17903 14027 17567
7901 9677 10007 10337 12113 8237 11777
2111 3887 4217 4547 6323 2447 5987
10091 11867 12197 12527 14303 10427 13967
15551 17327 17657 17987 19763 15887 19427

Идеальный квадрат:

587 15797 5987 17987 5711 12113 11867
15551 9923 9677 10427 2357 17567 4547
12197 4127 16127 2111 19763 7487 8237
6323 17327 6047 10007 13967 2687 13691
11777 12527 251 17903 3887 15887 7817
15467 2447 17657 9587 10337 10091 4463
8147 7901 14303 2027 14027 4217 19427

Компьютер на меня уже ругается Говорит: хватит уже меня мучить.

[Nataly-Mak]

Вчера целый день искала идеальный квадрат 7-го порядка из простых чисел.
Проверены потенциальные магические константы от 58709 до 93163. Потенциальные константы здесь такие, что $S/7$ является простым числом (это число находится в центральной ячейке идеального квадрата).

Нашла только ещё одно приближение к искомому квадрату - идеальный квадрат, в котором только одно число не простое:

2393 17909 6863 23399 683 15131 17489
17609 6983 9341 19319 3203 18719 8693
20129 4013 20549 2903 23909 1193 11171
9203 18119 3023 11981 20939 5843 14759
12791 22769 53 21059 3413 19949 3833
15269 5243 20759 4643 14621 16979 6353
6473 8831 23279 563 17099 6053 21569

Число 5243 не является простым. Вот же досадно, всего одно число не вписалось в массив.

Не проверяла следующие потенциальные магические консатнты: от 35273 до 58639. Надо проверить, вдруг именно в пропущенных константах и есть решение.

Для смитов вообще ещё не начинала проверять, кроме одной единственной константы, когда maxal сообщил об отсеянных константах для смитов. Просто проверила тогда, как программа для смитов будет работать, намного ли быстрее, чем для простых чисел. Нет, не намного. Но для этой программы и не надо желать большего быстродействия, она и так работает очень быстро, одна магическая константа проверяется несколько секунд; конечно, с ростом констант увеличивается количество комплементарных пар, и время выполнения немного увеличивается. Для последних проверенных констант количество комплементарных пар уже больше 200. И опять же для разных констант время разное, одна проверится за 5 секунд, а другая секунд 30 проверяется. Всё зависист оттого, как там числа складываются в примитивном квадрате.

Надо попробовать для смитов поискать квадрат, может быть, в этом случае смиты окажутся "везучее" простых чисел.