Объявляю конкурс на самую сложную олимпиадную задачу

[ins-]

Более того, кто гарантировал, что это плоскости? Лист бумаги легко гнётся.
We tried in the office you are right.

[arqady]

ins-, как на счёт доказательства с помощью Мюрхеда?

[ins-]

The person is under time pressure he have important project when he have more time he said he will post it.

[Юстас]

Edward_Tur в сообщении #357138 писал(а):

Лист бумаги сложили вдвое. Почему линия сгиба - отрезок прямой?

Наверное, как-то так: сгибание не увеличивает расстояния между точками, поэтому между любыми двумя точками на "верхней"(или "нижней") части сгиба можно пройти по прямой, следовательно они выпуклы. Но выпуклый лист можно разделить на 2 выпуклые части только отрезком.

[Edward_Tur]

Лист бумаги сложили вдвое. Почему линия сгиба - отрезок прямой?

Решение: Рассмотрим две точки $A$ и $B$, которые после сгиба совпали. Поскольку для любой точки $M$ линии сгиба $AM=BM$, то линия сгиба - серединный перпендикуляр отрезка $AB$.

[ins-]

Edward_Tur в сообщении #357601 писал(а):

Поскольку для любой точки $M$ линии сгиба $AM=BM$

Why are you sure "линии сгиба" is a straight line?
(I think you step on the fact it is a stright line and then prove it is a stright line)
How you can prove: AM=BM?

[Edward_Tur]

Цитата:

How you can prove: AM=BM?

Уважаемый ins-!
Точки $A$ и $B$ после сгиба совпадают, т.е. $A \equiv B$.

[ins-]

I think if M is on the segment AB AM=BM is true. But why AM=BM for "любой" point M from "линии сгиба". And why line "сгиба" in not curve "сгиба"?

[dgs]

venco в сообщении #357269 писал(а):

Более того, кто гарантировал, что это плоскости? Лист бумаги легко гнётся.

OK,
let first fold in two this sheet of paper and then let roll it perpendicular to the "линии сгиба". It is the same sheet of paper folded in two, but what about the "линии сгиба" - is it a straight line, or is it a circle.

AM=BM ==> it means only, that "линии сгиба" (if it is a "линии") lies in a specific plane - this plane is perpendicular to AB and cuts AB in two equal parts.

[ins-]

Can anyone write complete solution?

I have an idea. If a лист is already сложeнной вдвое if we want to return it back it is impossible if the curve сгиба is different than a stright line. If someone can prove it can be a correct solution.

[worm2]

Ну давайте сначала разберёмся с постановкой.
Во-первых, под листом бумаги мы будем понимать двумерное многообразие в трёхмерном пространстве, развёртываемое на плоскость (внутренняя геометрия этого многообразия должна совпадать с внутренней геометрией плоскости), причём развёртка на плоскость является областью (связное ограниченное множество), а то, что в исходном состоянии лист ещё не свёрнут, будем определять так: вложение нашего многообразия в трёхмерное пространство однозначно.
Во-вторых, под сгибом мы будем подразумевать непрерывное преобразование одной выпуклой (во внутренней геометрии) подобласти нашего многообразия $X$ в другую его подобласть $Y$: 1) которое не изменяет его внутреннюю геометрию; 2) при котором обе части во внутренней геометрии имеют непустую общую границу, которую и будем называть линией сгиба $L$.
В третьих, утверждение, которое требуется доказать, сформулируем так: линия сгиба при развёртывании нашего многообразия на плоскость будет лежать на некоторой прямой.

В такой постановке по задаче можно даже попробовать диссертацию защитить (Ph.D.)
Конечно, нижеследующие рассуждения там надо будет разбавить большим количеством воды:

Выберем в области $X$ некоторую точку $x$, не принадлежащую линии сгиба. Пусть при сгибе она переходит в $y\in Y$.
Рассмотрим теперь произвольную точку линии сгиба $z\in L$. Стоит отметить, что далее неявно используется единственность $x$, $y$ и $z$ (во внутренней геометрии), которая вытекает из того, что в исходном состоянии лист ещё не был сложен. В силу выпуклости $X$ отрезок прямой от $x$ до $z$ лежит в $X$, а значит, кратчайший путь от $x$ до $z$ также полностью принадлежит $X$. Рассматривая тот же путь как путь от $y$ до $z$, заключаем, что $z$ лежит на одинаковом расстоянии от $x$ и $y$. Это всё, напоминаю, во внутренней геометрии. Вот и все рассуждения, дальше всё очевидно.

Дальше можно рассуждать о том, как бы ослабить условие выпуклости. Наверное, до связности можно ослабить, но тогда потребуется не просто непрерывность сгиба, а ещё и существование и непрерывность обратного преобразования. Можно ещё подумать над дальнейшей формализацией слова "вдвое", но принципиально задача решена

[ins-]

It is the solution of the problem. A colleague of mine found it.
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ ... ndex.shtml
It is the same as EdwardTur's solution but here is better explained.

[ins-]

What is the solution of the angle bisectors problem without isometry?
Will someone post some interesting problem?

[ins-]

1. Suppose that M ;N;P are three points lying respectively on the edges AB;BC;CA of a triangle ABC such that $AM+BN+CP=MB+NC+PA$
Prove that $S_{MNP} \leq \frac{1}{4}S_{ABC}$
2. Choose five points A;B;C;D and E on a sphere with radiusR such that $\angle{BAC}=\angle{CAD}=\angle{DAE}=\angle{EAB}=\frac{2}{3}.\angle{BAD}=\frac{2}{3}.\angle{CAE}$
Prove that $AB+AC+AD+AE \leq 4\sqrt{2}R$

[serega57]

Ребята а можно я задам задачку . Дан произвольный отрезок при помощи циркуля и линейки найдите его числовое значение .Надеюсь здесь формул не надо.

-- Вс окт 24, 2010 18:52:44 --

Задача 2 Задан произвольный произвольный отрезок постройте окружность с периметром равным данному отрезку.

-- Вс окт 24, 2010 18:58:19 --

Задача 3 Даны два произвольных угла. Постройте два любых отрезка которые так относились к друг другу как два заданных угла между собой.