Построение действительных чисел

[ewert]

Black_Evg в сообщении #356933 писал(а):

а если "приближаюсь к точке" как угодно близко, то действительное число бесконечно.

А Вы не можете "приблизиться" к "точке", поскольку не к чему приближаться, нет у Вас никаких точек -- определять точки Вы себе запретили.

[epros]

Black_Evg в сообщении #356933 писал(а):

Поэтому 1/3 это всегда бесконечное число в десятичной системе счисления

Т.е. Вы именуете десятичную дробь $0.(3)$ "бесконечным числом"? Весьма смелое с Вашей стороны переопределение общепринятой терминологии. Хочу Вам заметить, что обычно такие объекты именуют фундаментальными последовательностями. В данном случае последовательность определена формулой: $a_n = \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{3}{10^i}$. Теперь вопрос: Определяет ли эта последовательность "действительное число" ("точку действительной оси")?

[Black_Evg]

Действительное число должно работать практически. Я не возражаю против неограниченного ничем полета мысли, против "сечений" и построения на их основе новых воздушных замков. Но я спрашиваю автора действительного числа - теперь покажи мне простые вещи, покажи как работает твое действительное число. Если такая цель не преследуется, если интересен только процесс построения, то я не возражаю - просто нужно ясно показать, что ни о какой "работе" речь не идет. Теперь ответы на вопросы.

1) Не знаю почему сложилось мнение, что я "запретил" себе точки на числовой оси. Я не оригинален, я разделяю мнение о том, что каждой точке соответствует действительное число. Но я был не корректен в определениях, называя действительные числа конечными и бесконечными. Я думал уважаемые коллеги простят и поймут то, что речь идет о значащих цифрах действительного числа. Они могут быть конечными в том случае, если в основании действительного числа есть нужные простые числа, и бесконечными, если таких простых чисел нет.
Давайте начнем с простых вещей. Выбрана двоичная система счисления, как самая простая. Делим конечный отрезок все время пополам и получаем бесконечную упорядоченную последовательность точек. Такая бесконечная система точек передает все протяженности или дроби, кратные 1/2 как действительные числа, с конечным числом значащих цифр.
Если попадется протяженность или дробь кратная 1/3, то мы не найдем среди "двоичных точек" нужной, и вынуждены будем выбрать ближайшую "двоичную". Как результат - бесконечное число значащих цифр или "несовместность".

2) Меня несколько удивляет открытие "несовместных" чисел (корень из 2). Если бы Пифагор тщательно проанализировал природу бесконечного числа значащих цифр действительного числа, то достаточно было бы бесконечной последовательности простых чисел. Для того, чтобы действительное число можно было применять практически, мы вынуждены ограничиться конечным числом простых чисел в его основании. Здесь весь корень зла - всегда найдется простое число, которое для данной системы счисления будет "несовместным". Это значит что данная система счисления не может показать его "точку", а показывает только ближайшую доступную.

3) Иррациональные числа (алгебраические или трансцендентные) имеют сложную природу, которую можно увидеть, получив для этого числа разложение в ряд. Обратите внимание на ряды корня из 2, или числа "е", это дроби, содержащие в знаменателе полный набор простых чисел. Возьмите (теоретически конечно) и положите в основание идеальной системы счисления "все" простые числа. Тогда несовместных чисел не будет, все числа будут записаны конечным числом значащих цифр. Практически это невозможно, но нам важна ясность в понимании действительного числа и его связи с точками непрерывной числовой оси.

[epros]

Black_Evg в сообщении #357302 писал(а):

Я думал уважаемые коллеги простят и поймут то, что речь идет о значащих цифрах действительного числа

Я понял, что речь о количестве значащих цифр. Однако я не понял почему Вы придаёте этому какое-то значение. Поскольку Вы не ответили на мой предыдущий вопрос, мне сложно судить о том, что Вы считаете определением действительного числа. Я, например, знаю такое определение:

Действительное число - это класс эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Вы в этим согласны? Можете даже опустить слова про класс эквивалентности, просто скажите, определяют ли с Вашей точки зрения фундаментальные последовательности действительные числа?

Если да, то какая проблема? Какая кому разница сколько цифр в какой-то записи у этого числа, если оно определено формулой последовательности?

Black_Evg в сообщении #357302 писал(а):

чтобы действительное число можно было применять практически

Какие проблемы
Чтобы применять число на практике, достаточно знать его формулу. Каковы бы ни были требования практики к точности, их можно выполнить, произведя вычисления по данной формуле до нужного члена последовательности. Пример:

$a_{n} = \frac{a_{n-1}}{2} + \frac{1}{a_{n-1}}$, $a_0 = 1$

1) Убедитесь, что эта простая рекурсивная формула определяет фундаментальную последовательность рациональных чисел.
2) Убедитесь, что эта последовательность имеет пределом число $\sqrt{2}$.

Black_Evg в сообщении #357302 писал(а):

нам важна ясность в понимании действительного числа

Это точно...

[Black_Evg]

1) Число для меня это эквивалент какой то меры, например, протяженности. Число для меня это совершенно определенная точка на числовой оси. Но это идеальное или абстрактное число. На практике оно должно реализоваться через систему счисления. Но беда в том, что системы счисления, в принципе не могут быть совершенными. Для того, чтобы они могли передать "все" точки числовой оси, в их основании должны быть все простые числа, а это невозможно.
2) В связи с этим, количество значащих цифр числа, это индикатор, который указывает на то, что эта конкретная система счисления передает нужную точку числовой оси, если число значащих цифр конечо, или нет в противном случае.
3) Серьезным математикам до этого нет никакого дела, поскольку приближение к нужной точке как угодно близко, для конечной величины достаточно. Им нет никакого дела до того, попали ли мы на "точку", или приблизились к ней бесконечно близко. Epros, я согласен с приведенным Вами определением.
4) Я горожу свой огород для того, чтобы сказать другим - "несовместность" иррациональных чисел заключена в несовершенстве системы счисления. Если бы мы могли в "фундаментальную последовательность рациональных чисел" включить все простые числа, мы не знали бы ничего о несовместности. Может быть для кого то это чепуха, но для меня это важно.
5) Я сторонник дискретного мира, дискретная мера и дискретное пространство лишено такой чепухи, как несовместность. Это мир натуральных чисел. Это мир, который не нуждается в аксиоме о прямой, это мир, которому не нужны ни координатные оси, ни линейка с делениями. Все это мне теперь легко показать, но ... люди живут в придуманном им непрерывном мире, и никто не вправе нарушать эту иллюзию. Последняя будет стоять дольше птолемеевой системы мира.

[Лукомор]

Black_Evg в сообщении #357893 писал(а):

Для того, чтобы они могли передать "все" точки числовой оси, в их основании должны быть все простые числа, а это невозможно.

Они не могут передать "все" точки числовой оси, потому что точки числовой оси числами не являются...

Black_Evg в сообщении #357893 писал(а):

Я сторонник дискретного мира, дискретная мера и дискретное пространство лишено такой чепухи, как несовместность

Везёт Вам!
Вот и покажите, как в вашем дискретном мире совместить сторону единичного квадрата с его диагональю...

[epros]

Black_Evg в сообщении #357893 писал(а):

Число для меня это совершенно определенная точка на числовой оси. Но это идеальное или абстрактное число. На практике оно должно реализоваться через систему счисления.

А почему не формулой? Вот Вы построили квадрат 1x1, а потом циркулем отложили на числовой оси точку, отстоящую от начала отсчёта на расстояние, равное длине его диагонали. Почему бы "на практике" нам не "реализовывать" эту точку формулой последовательности:
$a_{n} = \frac{a_{n-1}}{2} + \frac{1}{a_{n-1}}$, $a_0 = 1$?

Black_Evg в сообщении #357893 писал(а):

Если бы мы могли в "фундаментальную последовательность рациональных чисел" включить все простые числа

Причём тут простые числа? Вы заметили, что описанная выше последовательность состоит из рациональных чисел, т.е. каждый член последовательности описывается парой натуральных чисел (числителем и знаменателем)?

[Black_Evg]

1) Когда говорят, что точки числовой оси числами не являются, дискуссию нужно вовремя остановить.
2) Когда мы говорим о действительном числе, то всегда нужно помнить, что оно практически реализуется через систему счисления. На этом форуме система счисления никого не интересует, здесь действительное число воспринимается как некая абстракция, основанная на "фундаментальной последовательности рациональных чисел". Это вполне допустимо, но тогда все мои утверждения неуместны.

[epros]

Black_Evg в сообщении #357914 писал(а):

Когда мы говорим о действительном числе, то всегда нужно помнить, что оно практически реализуется через систему счисления

Системы счисления придуманы для представления с какой-то ограниченной точностью. Не следует думать, что значение в компьютерной ячейке точно определяет действительное число.