Помогите доказать формулу площади единичной сферы

[alexey007]

Привет всем! Хотел бы научиться выводить общую формулу площади единичной сферы в $N$ мерном прострастве :$\sigma{_N}=\frac{2{\pi}^{N/2}}{\Gamma{(N/2)}}$. Подскажите, где есть строгий вывод этой формулы. Говорят, что есть несколько выводов этой формулы. Очень хочется разобраться в этом, заранее всем спасибо!

[ИСН]

Сфера? О, это очень просто: берём n-мерный шар и дифференцируем по радиусу.

[paha]

ну... можно и более подробно) представляем $n$-мерную сферу как поверхность вращения в $(n+1)$-мерном пространстве и вычисляем ее площадь как площадь поверхности врашения

[Alexey1]

Можно через гиперсферические координаты и затем по индукции.

[RIP]

Мне нравится такой вывод:

$$\pi^{n/2}=\left(\int_{\mathbb R}\mathrm e^{-x^2}\mathrm dx\right)^n=\int_{\mathbb R^n}\mathrm e^{-(x_1^2+\ldots+x_n^2)}\mathrm dx_1\ldots\mathrm dx_n=$$

переходим к интегралу по радиусу $r$ и сфере $S_r$ радиуса $r$

$$=\int_0^\infty\int_{S_r}\mathrm e^{-r^2}\mathrm dS\,\mathrm dr=\sigma_n\int_0^\infty r^{n-1}\mathrm e^{-r^2}\mathrm dr=\sigma_n\Gamma(n/2)/2.$$

[Хорхе]

И мне такой вывод нравится.

[ewert]

Да, такое способ, видимо, идеален (спасибо, буду знать). Однако лобовой путь (дифференцированием объёма) -- на мой вкус, нагляднее, хотя и чересчур громоздок.

[alexey007]

Все огромное спасибо, за ответ, особенно RIP - спасибо тебе за подробный ответ!!! Я вот только не могу разобраться еще с обобщенными сферическими координатами, ну т.е. нужно найти Якобиан этого преобразования. Вот сами формулы я записал
$x_1=rsin(\alpha_1)sin(\alpha_2)...sin(\alpha_{n-1})$
$x_2=rcos(\alpha_1)sin(\alpha_2)...sin(\alpha_{n-1});$
$x_3=rcos(\alpha_2)sin(\alpha_3)...sin(\alpha_{n-1});$
$............$
$x_n=rcos(\alpha_{n-1})$

и даже знаю, что должен получить $J=r^{n-1}sin(\alpha_2)sin^2(\alpha_3)...sin^{n-2}(\alpha_{n-1})$
а вот как получить это не знаю. В трехмерном случае делал на первом курсе, помню что можно просто преобразовывая все получить, а вот как в n-мерном случае сделать не знаю, подскажите пожалуйста))))

[Alexey1]

Посмотрите здесь.

[alexey007]

Alexey1, Спасибо большое

[Профессор Снэйп]

ИСН в сообщении #353537 писал(а):

берём n-мерный шар и дифференцируем по радиусу.

Дифференцируем не сам шар, а объём шара, который тоже надо находить