Множества

[Falex]

С вопросиками по дискретки подскажите:
1.Доказать,что не всегдаA\backslash \left( {B \cap C} \right) = \left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {A\backslash C} \right)$
2.Доказать,что $A\,\Delta \,\left( {B\backslash C} \right) \supset \left( {A\,\Delta \,B} \right)\backslash \left( {A\,\Delta \,C} \right)$
3.Доказать,что \left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {C\backslash D} \right) = \left( {A \cap C} \right)\backslash \left( {B \cap D} \right)
4.Доказать,что $A \cup \left( {B\backslash C} \right) \supset \left( {A \cup B} \right)\backslash \left( {A \cup C} \right)$

особенно проблемы возникают с 1,2,4.

[nworm]

Эти задачи похоже решаются.
Пишите
$x\in A\setminus (B\cap C)\rightleftarrow$
Затем смотрете в справочнике определение операции $\setminus$ и раскрываете его.
Опять знак эквивалентности и раскрываете пересечение...
Так же с другой стороны равенства.
В итоге одно и тоже должно получиться

[Falex]

В первом напрямую?
1)

$$x \in A\backslash \left( {B \cap C} \right) \Rightarrow \left( {x \in A} \right) \wedge \left( {x \in \mathop B\limits^{\_\_} \wedge x \in \mathop C\limits^{\_\_} } \right) \Rightarrow \left( {x \in A \wedge x \in \mathop B\limits^{\_\_} } \right) \wedge \left( {x \in A \wedge x \in \mathop C\limits^{\_\_} } \right) \Rightarrow x \in \left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {A\backslash C} \right)$$

А почему тогда не всегда... ))

А что делать с задачами 2,3???

[PAV]

Первый переход неверен: в большой скобке не И, а ИЛИ.

[Falex]

А в моем последнем посте я "наврал"
ну вот обратно:
$\left( {x \in A\backslash B} \right) \wedge \left( {x \in A\backslash C} \right) \Rightarrow \left( {x \in A \wedge x \in \mathop B\limits^\_ } \right) \wedge \left( {x \in A \wedge x \in \mathop C\limits^\_ } \right) \Rightarrow \left( {x \in A} \right) \wedge \left( {x \in \mathop B\limits^\_ \wedge x \in \mathop C\limits^\_ } \right) \Rightarrow x \in A \cap \left( {\mathop {B \cup C}\limits^{\_\_\_\_\_\_\_} } \right) \Rightarrow x \in A\backslash (B \cup C)$
Правильно я здесь сделал?
А с задачами 2,4 я так и не понял!

[RIP]

1. Возьмите A={1,2}, B={1}, С={2}
2-4 Довольно просто решаются с помощью кругов Эйлера

[Falex]

RIP ну с 1-ым Вы просто пример привели неверности решения.А д-во то у меня надеюсь правильное?
А если без кругов Эйлера в 2,4 а с помощью символов доказывать

[Falex]

Может через индикатор попробовать решить?:

$$ \chi _A (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0,x \notin A} \\ {1,x \in A} \\ \end{array}} \right. $$

Потому что по кругам Эйлера примитивно доказывается...

Добавлено спустя 43 минуты 20 секунд:

Добрый день.Ну есть какие идеи?

[Falex]

Ребят.Ну подскажите как "справиться" с задачами 2,3,4!!!!

[Someone]

Falex писал(а):

С вопросиками по дискретки подскажите:
1.Доказать,что не всегдаA\backslash \left( {B \cap C} \right) = \left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {A\backslash C} \right)$

Если $x$ принадлежит множеству $A$ и только одному из множеств $B$ и $C$, то $x$ принадлежит левой части "равенства" и не принадлежит правой. Равенство будет выполняться, только если $A\cap B=A\cap C$.

Falex писал(а):

3.Доказать,что \left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {C\backslash D} \right) = \left( {A \cap C} \right)\backslash \left( {B \cap D} \right)$

Если $x$ принадлежит множествам $A$, $C$, $D$, но не принадлежит множеству $B$, то $x$ принадлежит правой части "равенства", но не принадлежит левой. То же самое будет, если $x$ принадлежит множествам $A$, $B$, $C$, но не принадлежит $D$. Равенство будет выполняться, если $A\cap C\cap D\subseteq B$ и $A\cap B\cap C\subseteq D$.

P.S. Надеюсь, не наврал.

[Falex]

А как быть с задачами 2,4:вот их как решить через кванторы?

[Brukvalub]

Задание 3 неверно. Вот контрпример: A=C={1,2,3}, B={1},D={3}.
А про другие могу лишь повторить уже указанный Вам путь : выберете произвольную точку х из меньшего множества и, пользуясь логическими переходами, соответствующими операциям с множествами, докажите, что эта точка обязательно попадет и в большее множество. Это совсем просто, а набирать ответ- кропотливая работа, которая того не стоит.

[Falex]

Brukvalub

Цитата:

окажите, что эта точка обязательно попадет и в большее множество

Будьте так любезны покажите на примерах 2,4.Буду признателен!

[Brukvalub]

Готов лишь поправить, если это будет необходимо, Ваши выкладки. Пишите их.

[Falex]

Вот для 4-ого:

$$ x \in \left( {A \cup B} \right)\backslash \left( {A \cup C} \right) \Rightarrow \left( {x \in A \vee x \in B} \right) \wedge \mathop {\left( {x \in A \vee x \in C} \right)}\limits^{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_} \Rightarrow \left( {x \in A \vee x \in B} \right) \wedge \left( {x \in \mathop A\limits^{\_\_} \wedge x \in \mathop C\limits^{\_\_} } \right) \Rightarrow x \in A \vee \left( {x \in B \wedge x \in \mathop C\limits^{\_\_} } \right) $$

Cо 2-м заданием такой геморр!Там эта симметричная разность.Я знаю как ее по определению раскрыть,но там ее столько,что можно запутаться.Вот 2-ое задание я вообще не могу сделать