Множества

[Brukvalub]

Вы не довели запись до конца, но все идет верно, хотя вместо черточек над множествами лучше писать

\[x \notin B\;,\;x \notin C\]

и т.п. А про заболевание прямой кишки я вообще ничего не понял: Вы хотите, чтобы его получил я, набирая длинные и нудные, но несложные выкладки?

[Falex]

Хм.

$$ x \in \left( {A\Delta B} \right)\backslash \left( {A\Delta C} \right) \Rightarrow \left( {x \in A\Delta B} \right) \wedge \left( {x \notin A\Delta C} \right) \Rightarrow [\left( {x \in A \wedge x \notin B} \right) \wedge \left( {x \in B \wedge x \notin A} \right)] \wedge [\left( {x \notin A \wedge x \notin C} \right) \wedge \left( {x \in A \wedge x \in C} \right)] \Rightarrow ?? $$

[Brukvalub]

Вы пишете:

Цитата:

$$ x \in \left( {A\Delta B} \right)\backslash \left( {A\Delta C} \right) \Rightarrow \left( {x \in A\Delta B} \right) \wedge \left( {x \notin A\Delta C} \right) \Rightarrow [\left( {x \in A \wedge x \notin B} \right) \wedge \left( {x \in B \wedge x \notin A} \right)] \wedge [\left( {x \notin A \wedge x \notin C} \right) \wedge \left( {x \in A \wedge x \in C} \right)] \Rightarrow ?? $$

Второе следствие показывает, что Вы не знаете определения симметрической разности.

[Falex]

Упс.Поторопился.Вот:

$$ \Rightarrow \left[ {\left( {x \in A \wedge x \notin B} \right) \vee \left( {x \notin A \wedge x \in B} \right)} \right] \wedge \left[ {\left( {x \notin A \vee x \in C} \right) \wedge \left( {x \notin C \vee x \in A} \right)} \right] \Rightarrow ?? $$

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Упс.Поторопился.Вот:

$$ \Rightarrow \left[ {\left( {x \in A \wedge x \notin B} \right) \vee \left( {x \notin A \wedge x \in B} \right)} \right] \wedge \left[ {\left( {x \notin A \vee x \in C} \right) \wedge \left( {x \notin C \vee x \in A} \right)} \right] \Rightarrow ?? $$

Теперь неверно сформулировано отношение

$$ {x \notin A\Delta C} \right) $$

[Falex]

Опять я тороплюсь:

$$ \Rightarrow \left[ {\left( {x \in A \wedge x \notin B} \right) \vee \left( {x \notin A \wedge x \in B} \right)} \right] \wedge \left[ {\left( {x \in A \wedge x \in C} \right) \vee \left( {x \notin A \wedge x \notin C} \right)} \right] \Rightarrow ?? $$

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Опять я тороплюсь:

$$ \Rightarrow \left[ {\left( {x \in A \wedge x \notin B} \right) \vee \left( {x \notin A \wedge x \in B} \right)} \right] \wedge \left[ {\left( {x \in A \wedge x \in C} \right) \vee \left( {x \notin A \wedge x \notin C} \right)} \right] \Rightarrow ?? $$

Уже лучше.Теперь перегруппируем:первые скобки и третьи, или вторые и четвертые (понятно, что другие комбинации невозможны) и двинемся дальше.

[Falex]

Вот так:

$$ \Rightarrow \left[ {\left( {x \in A \wedge x \notin B} \right) \vee \left( {x \in A \wedge x \in C} \right)} \right] \wedge \left[ {\left( {x \notin A \wedge x \in B} \right) \vee \left( {x \notin A \wedge x \notin C} \right)} \right] $$

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Вот так:

$$ \Rightarrow \left[ {\left( {x \in A \wedge x \notin B} \right) \vee \left( {x \in A \wedge x \in C} \right)} \right] \wedge \left[ {\left( {x \notin A \wedge x \in B} \right) \vee \left( {x \notin A \wedge x \notin C} \right)} \right] $$

Нет, вот так:$$ \Rightarrow \left[ {\left( {x \in A \wedge x \notin B} \right) \wedge \left( {x \in A \wedge x \in C} \right)} \right] \vee\left[ {\left( {x \notin A \wedge x \in B} \right) \wedge \left( {x \notin A \wedge x \notin C} \right)} \right]
Вообще-то теперь осталось всего 5437 ведер, и золотой ключик - Ваш, но солнце за гору садится-телепузик спать ложится, поэтому коротко подведу итоги: Вы получили, что или х лежит в А и С, но не в В, или х лежит в В, но не в А и не в С, тогда х лежит в А, но не в В минус С, или
х лежит в В минус С, но не в А, поэтому он обязательно лежит в левой части включения 2. Далее- уже без меня. И еще: если честно, то я Вас немного обманул, написав, что Вы неверно сформулировали отношение

$$ {x \notin A\Delta C} \right) $$

- там все было верно, но Ваша вторая формулировка упрощала дальнейшее решение, поэтому я и остановился на ней.

[Falex]

Brukvalub ну а дальше-то:закончите свою мысль!

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Brukvalub ну а дальше-то:закончите свою мысль!

Я ее и закончил в предыдущем сообщении. Вам осталось лишь записать полученный вывод символами.

[Falex]

А нельзя доказать:

$$ \begin{array}{l} \left( {A\Delta B} \right)\backslash C = \left( {A\backslash C} \right)\Delta \left( {B\backslash C} \right) \\ A\Delta \left( {B\Delta C} \right) \ne \left( {A\Delta B} \right)\Delta \left( {A\Delta C} \right) \\ A\Delta \left( {B\backslash C} \right) \supset \left( {A\Delta B} \right)\backslash \left( {A\Delta C} \right) \\ \end{array} $$

Через индикатор?:

$$ \begin{array}{l} \chi _A (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0,x \notin A} \\ {1,x \in A} \\ \end{array}} \right. \\ \chi _{A \cap B} = \chi _A \cdot \chi _B \\ \chi _{A \cup B} = \chi _A + \chi _B - \chi _A \cdot \chi _B \\ \end{array} $$

[Ulya]

А что Вы будете делать,если x не принадлежит мн-ву.Как Вы сможеет использовать ваши индикаторы?

[RIP]

Ulya писал(а):

А что Вы будете делать,если x не принадлежит мн-ву.Как Вы сможеет использовать ваши индикаторы?

Как предполагается в теории множеств, есть некое "универсальное множество" такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами, поэтому применение индикаторов законно. А если совсем по-простому, то берем $U=A\cup B\cup C$ и рассмотрим индикаторы как функции от $x\in U$.
Первый пример действительно просто решается через индикаторы с учетом тождеств

$$\chi_{A\setminus B}=\chi_A(1-\chi_B),$$

$$\chi_{A\Delta B}=\chi_A+\chi_B-2\chi_A\chi_B.$$

Пишем

$$\chi_{(A\setminus C)\Delta (B\setminus C)}=\chi_{A\setminus C}+\chi_{B\setminus C}-2\chi_{A\setminus C}\chi_{B\setminus C}=\chi_A(1-\chi_C)+\chi_B(1-\chi_C)-2\chi_A(1-\chi_C)\chi_B(1-\chi_C).$$

Далее в последнем слагаемом убираем одно из $(1-\chi_C)$(почему это законно?), после чего выносим общий множитель за скобки и, о чудо!, имеем то, что надо.
По поводу второго примера. Если просят доказать, что что-то выполняется не всегда, то достаточно привести контрпример. Зачем перенапрягаться?
В третьем примере применение индикаторов, по-моему, не приводит к простому решению.
P.S.Говоря про номера примеров,я имел в виду последний пост Falex'a.

Добавлено спустя 19 минут 18 секунд:

Этот третий пример, по-моему, проще решать так.
Пусть $x\in(A\Delta B)\setminus(A\Delta C)$. Что значит, что $x\in A\Delta B$? Что x принадлежит ровно одному из множеств A,B. Что значит, что $x\notin A\Delta C$? Что x принадлежит A и C, либо x не принадлежит ни одному из них. Итого формально 4 варианта для x, которые просто надо разобрать отдельно. Расписывание этого на языке алгебры логики, согласитесь, довольно утомительно и излишне. Помните, что формализация не всегда рациональна, иногда и про здравый смысл стоит вспоминать

[Falex]

Цитата:

Что x принадлежит ровно одному из множеств A,B.

И все?Про симметричную разность для A,B больше ничего писать не надо?
RIP!Тогда у Вас получилось 3 условия,а не 4.