2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 диффур в банаховом пространстве
Сообщение28.09.2010, 20:22 


20/04/09
1067
Привести пример банахова пространства $X$ и задачи Коши
$$\dot x=f(x)\in C(X,X),\quad x(0)=0$$ которая не имеет решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: диффур в банаховом пространстве
Сообщение29.09.2010, 07:22 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
$X=C[-1,1]$
$$\dot x(s)=s+{\mathrm {sgn} \;  x(s)} \sqrt{|x(s)|}, \ \ \  x(s)(0)=0$$
Здесь ${\mathrm {sgn} \;  x}$ -- знак $x$.
Предположим, что решение $x(s)(t)\in C[-1,1]$ существует. Заметим, что тогда $x(s)(t)\geqslant 0$ при $s>0$, и $x(s)(t)\leqslant 0$ при $s<0$.
Поэтому в точке $s=0$ , обязательно $x(0)(t)=0$.
Если $s>0$, то решение такое $2\sqrt{x}-2s\ln(s+\sqrt{x})=t-2s\ln s$. Устремим здесь $s\to 0$ при фиксированном $t>0$ . Тогда по непрерывности должно быть $x(s)\to x(0)(t)=0$. Левая часть равенства стремится к $0$, правая - к $t>0$. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: диффур в банаховом пространстве
Сообщение29.09.2010, 09:18 


20/04/09
1067
Здорово!

После того как первый пример такого сорта был изготовлен Годуновым в $c_0$ возник вопрос о том существуют ли такие системы в рефлексивных пространствах. Примеры тоже появились. Потом был построен пример и для гильбертова пространства. Точку опять поставил Годунов: теорема Пеано справедлива тогда и только тогда когда пространство конечномерно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: nnosipov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group