Асимптотика, неполная гамма-функция

[id]

Интересует асимптотика при $L\to \infty$ след. ряда:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac 1 {\Gamma (n \alpha)} \int\limits_0^{\lambda L} e^{-t} t^{n \alpha -1} dt$
$\alpha, \lambda>0$

Пробовал менять местами интегрирование/суммирование, сходу ничего хорошего из этого не вышло.

[Полосин]

См. асимптотику функции Миттаг-Леффлера $E_{a,b}(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{\Gamma(an+b)}$ в любом справочнике.

[id]

Цитата:

в любом справочнике.

Например в каком?

[--mS--]

Что-то мне не очень видна в этом ряде функция Миттаг - Леффлера :(
В некоторых частных случаях эта сумма неплохо вычисляется или почти вычисляется. Если число $n\alpha$ целое при всяком $n$ (ну, например, $\alpha=1$), то интегрированием по частям функция распределения гамма-распределения $\Gamma_{1,\, n\alpha}$ в точке $\lambda L$ превращается в хвост распределения Пуассона:

$$\dfrac{1}{\Gamma(n\alpha)} \displaystyle\int\limits_0^{\lambda L} e^{-t} t^{n\alpha -1}\,dt = \sum_{k=n\alpha}^{\infty} \dfrac{(\lambda L)^k}{k!}\, e^{-\lambda L} = \mathsf P(\xi \geqslant n\alpha),$$

где $\xi$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda L$. Сумма этих вероятностей по всем $n$ - что-то около матожидания $\mathsf E\xi / \alpha = \lambda L / \alpha $:

$$\dfrac{\lambda L}{\alpha}-1=\mathsf E\dfrac{\xi}{\alpha} -1\leqslant\sum_{n=1}^\infty \mathsf P\left(\xi \geqslant n \alpha\right) \leqslant \mathsf E\dfrac{\xi}{\alpha}=\dfrac{\lambda L}{\alpha}.$$

[id]

Цитата:

Что-то мне не очень видна в этом ряде функция Миттаг - Леффлера :(

Но если продифференцировать и асимптотика будет удобной? Я думал, что Полосин это имеет ввиду.