Верещагин, Шень. Задачи 68, 71, 72.

[caxap]

68. Доказать, что $\aleph_0\times \mathfrak c =\mathfrak c$.

По теореме Кантора--Бернштейна: $ \mathfrak c = 1\times \mathfrak c \leqslant \aleph_0\times \mathfrak c\leqslant \mathfrak c \times \mathfrak c = \mathfrak c$ (равенство $\mathfrak c \times \mathfrak c = \mathfrak c$ известно, это разобранная задача 67 из той же книжки.)

71. Доказать, что $\aleph_0^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}$.

Тут затруднения. Не подскажите?

72. Какова мощность множества всех непрерывных функций с действительными аргументами и значениями? Сущсетвенна ли здесь непрерывность?

Множество всех функций $\mathbb R\to\mathbb R$ -- это $\mathbb R^{\mathbb R}$. Т. к. $|\mathbb R|=\mathfrak c$, то $|\mathbb R^{\mathbb R}|=\mathfrak c^{\mathfrak c}$. Если так думать, то непрырывность не важна.

[Null]

Непрерывных функций $\mathfrak c$

[caxap]

Null в сообщении #356730 писал(а):

Непрерывных функций $\mathfrak c$

ОК. Поверю. Но не могли бы вы указать, где у меня ошибка?

[ИСН]

У Вас не используется факт непрерывности.
На самом деле, даже континуум настолько огромен, что надо прожить не один год с этим знанием, чтобы полностью его постичь. А то, что ещё больше - - -

[caxap]

ИСН в сообщении #356746 писал(а):

У Вас не используется факт непрерывности.

Да, но второй вопрос в задаче как раз и спрашивает: важна ли непрерывность или нет. И, вроде бы, в моём "доказательсвте" я ничего крминального не совершил.

[ИСН]

Нет. То есть да. Тьфу, короче, совершили. Вы предполагаете, что значение функции в точке совершенно никак не зависит от значений во всех остальных точках.

[caxap]

Даже не знаю, с чем биекцию строить... Может таким путём идти:
1) Взять любую точку на координатной плоскости и доказать, что множество всех кривулек (= графиков непрерывных функций), которые могут проходить через эту точку, имеет мощность континуума.
2) Учитывая, что точек на координатной плоскости континуум, то сделать вывод, что всех кривулек тоже континуум.

Или может лучший путь есть?

[mkot]

Задание непрерывной функции на $\mathbb{Q}$ определяет ...

[ИСН]

mkot, вы у поручика Ржевского учились тонкие намёки делать? Надо же как-то давать человеку возможность самому...

[caxap]

mkot в сообщении #356766 писал(а):

Задание непрерывной функции на $\mathbb{Q}$ определяет ...

... функцию на $\mathbb R$. Мощность $\mathbb R^{\mathbb Q}$ равна $\mathfrak c^{\aleph_0}=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\times\aleph_0}=2^{\aleph_0}=\mathfrak c$.

Но есть вопрос: также как в моём первом "доказательстве" я лишь доказал, что искомая мощность $\leqslant \mathfrak c^{\mathfrak c}$, так и здесь -- я доказал, что она $\leqslant \mathfrak c$.

-- Пн сен 27, 2010 21:39:50 --

Ааа... вроде дошло. Рассмотрим все константные функции, которые любому $x\in \mathbb R$ ставят в соответствие какую-то (всем одну) вещественную константу. Т. к. вещественных констант континуум, то и таких функций тоже. А значит вообще любых непр. вещественных функций $\geqslant\mathfrak c$. По теореме Кантора--Бернштейна, мощность множества всех непр. функций $\mathbb R\to\mathbb R$ равна континууму. Так?

А что с остальными задачами?

-- Пн сен 27, 2010 21:42:09 --

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #356767 писал(а):

mkot, вы у поручика Ржевского учились тонкие намёки делать? Надо же как-то давать человеку возможность самому...

Я уверен, что сам бы до такого я не догадался.

[ИСН]

(Оффтоп)

caxap в сообщении #356773 писал(а):

Я уверен, что сам бы до такого я не догадался.

Ну дак я бы подсказал. Но тоньше. Сколько у нас функций, которые совпадают с данной везде, кроме... Придумал бы, в общем.

[Cave]

$\aleph_0^{\mathfrak c}\leqslant {\mathfrak c}^{\mathfrak c} = 2^{\ldots}$

[caxap]

Cave, спасибо!

$2^{\mathfrak c}\leqslant \aleph_0^{\mathfrak c}\leqslant \mathfrak c^{\mathfrak c}=(2^{\aleph_0})^{\mathfrak c}=2^{\aleph_0\times \mathfrak c}= 2^{\mathfrak c}$. Опять теорема КБ

(Оффтоп)

Как правильно писать $\mathfrak c$ письменно?

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Лично я пишу примерно как , начиная с верхнего кончика и иду против часовой стрелки. Нажим делаю чуть сильнее, чем обычно, поэтому в тексте сразу видно, что это что-то типа готической буквы, ну а больше мне и не надо.

[caxap]

Еще одна задачка:

73. Какова мощность множества всех монотонных функций с действительными аргументами и значениями.

Опять сверху имеем ограничение $\mathfrak c^{\mathfrak c}$ (см. первый пост). Про непрерывность ничего не сказано, значит искомая мощность $\geqslant \mathfrak c$. Связать с $\mathbb Q$ пробывал -- ничего не вышло. Интуитивно предполагаю, что больше $\mathfrak c$. Куда можно копать?

P. S. Мощность всех произвольных функций $\mathbb R\to\mathbb R$ равна $\mathfrak c^{\mathfrak c}$, я ведь всё правильно понимаю?

(Вопрос модераторам и администраторам)

Как лучше делать: каждую задачку в отдельную тему или всё в одну?

(Вопрос ИСН'у и др.)

Меня очень смущает, что лишь малую часть задач могу решить самостоятельно. Вы случайно не знаете, какого уровня (троешные, пятёрышные,..) примерно те задачи из Верещагина, Шеня, что я публикую?