полярный конус

[Anya90]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с теоремой.
Определения:
1) Множество $K \subset R^n$ называется конусом, если для любого $x \in K$ и всех $\alpha >0 : \alpha x \in K$.
2) $K^o = \{ y \in R^n : <y,x> \leq 0$ для всех $x \in K\}$ - полярный конус для конуса $K$.
Здесь $<y,x>$ - скалярное произведение.
Теорема: Если $K_1, K_2, ..., K_m$ - выпуклые конусы в $R^n$ и $K=\cap K_i$, то $K^o=K_1^o + ... + K_m^o$.
($int$ - внутренность множества).

Эта теорема не работает, если $K_1 \cap int K_2 \cap ... \cap int K_m = \varnothing$.
Т.е. существуют два выпуклых конуса $K_1, K_2, K_1 \cap int K_2 = \varnothing: K_1^o+K_2^o \neq (K_1 \cap K_2)^o$.
Я пытаюсь найти контрпример, но не нахожу. Натолкните, пожалуйста, на мысль.

[Alexey1]

Возьмите $K_1=\{(x,y) \ : \ x=0, \ y \geq 0\}, \ K_2=\{(x,y) \ : \ y=0, \ x \geq 0\}$, тогда $K_1 \cap int(K_2)=\varnothing$, и проверьте выполняется ли теорема для этих двух конусов.

[Anya90]

Спасибо за ответ.
$K=K_1 \cap K_2 = \{(0,0)\}. K^o = R^2$.
$K_1^o=\{(x,y):y\leq 0\}$, $K_2^o=\{(x,y):x\leq 0\}$.
$K_1^o+K_2^o=R^2$.
Я где-то делаю ошибку?


Погуглив, нашла, что в таком случае (чтобы получить контрпример) по кр.мере один из конусов не может быть задан системой неравенств $Ax \leq 0$. Но я все равно пример придумать не могу.

[Alexey1]

Anya90 в сообщении #356544 писал(а):

Спасибо за ответ.
$K=K_1 \cap K_2 = \{(0,0)\}. K^o = R^2$.
$K_1^o=\{(x,y):y\leq 0\}$, $K_2^o=\{(x,y):x\leq 0\}$.
$K_1^o+K_1^o=R^2$.
Я где-то делаю ошибку?

Как же у Вас так получилось, что $\{(x,y) : x >0, y>0\}$ не принадлежащие ни $K_1^o$, ни $K_2^o$ принадлежат их объединению?

[Anya90]

Я думала, что $K_1^o+K_2^o$ - это сумма конусов, а не объединение, т.е. все вектора в $K_1^o$ складываются с векторами в $K_2^o$.
Например, $(5,-3) \in K_1^o$, $(-3,5) \in K_2^o$. Точка $(5-3,-3+5) \in K_1^o$, т.е. $(2,2) \in K_1^o+K_2^o$.

Я неправа?

[Alexey1]

Под суммой множеств понимают множество состоящее из элементов принадлежащих каждому множеству. Посмотрите здесь.

[Anya90]

Я уточнила: это сумма Минковского.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1% ... 0%B3%D0%BE

[Alexey1]

Тогда возьмите $K_1=\{(x,y):y=x> 0\}, K_2=\{(x,y):y \geq x > 0\}, $.

[Anya90]

В этом случае они будут совпадать, не получится противоречия. В каждом случае \{$(x,y): y\leq-x\}$.

-- Пн сен 27, 2010 05:31:46 --

Anya90 в сообщении #356544 писал(а):

Погуглив, нашла, что в таком случае (чтобы получить контрпример) по кр.мере один из конусов не может быть задан системой неравенств $Ax \leq 0$.

Но я все равно пример придумать не могу.

[Alexey1]

Возьмите $K_1=\{(x,y):y\geq x=0\}, K_2=\{(x,y):y>x > 0\} \cup \{(0,0)\}$, тогда $K_1 \cap K_2=(0,0), (K_1 \cap K_2)^o = \mathbb R^2$ и $K_1^o=\{(x,y):y \leq 0\}, K_2^o=\{(x,y):y \leq -x\} \cap \{(x,y): y \leq 0\}$ и $K_1^o+K_2^o=\{(x,y):y \leq 0\}$.

[Anya90]

Спасибо Вам большое за помощь.
Кажется, что все верно.

Мне непонятно только, почему в книге, которую я нашла ч.з Google, говорится, что для конусов, которые "polyhedral" теорема работает без данного условия: $K_1 \cap int K_2 \cap ... \cap int K_m \neq \varnothing$.

[Alexey1]

А как определяется тот конус полиэдр? Может там неравенство не строгое, то есть $\{x:Ax \geq 0\}$. Вообще надо смотреть на доказательство Вашей теоремы и на определения.

[Anya90]

Да, он так и определяется, как Вы написали:
$\{x: Ax \leq 0\}$.

[Alexey1]

Надо смотреть на доказательство той теоремы которую Вы привели. Для конуса определение которого Вы дали может получиться, что $K=int(K)$, что не верно для конуса полиэра.