Сложный ряд.

[Vvp_57]

Найдите пожалуйста числовое алгебраическое выражение для ряда:
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(-1 \right)^k\cdot \frac{\left(k^2+1 \right)-\left(k^2-1 \right)\sqrt{5}}{2\left(k^4-3k^2+1\right)}=0,876328157425986640580....$

[maxal]

Разлагая на простейшие дроби, имеем

$$\frac{\left(k^2+1 \right)-\left(k^2-1 \right)\sqrt{5}}{2\left(k^4-3k^2+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{5}-1+2k}+\frac{1}{\sqrt{5}-1-2k}$$

и поэтому ряд сворачивается к дигаммам:

$$\frac{1}{4}\left( \Psi\left(\frac{\sqrt{5}+1}4\right) + \Psi\left(\frac{5-\sqrt{5}}4\right) - \Psi\left(\frac{\sqrt{5}+3}4\right) - \Psi\left(\frac{3-\sqrt{5}}4\right) \right).$$

Ну а дальше ловкость рук:

$$ \Psi\left(\frac{\sqrt{5}+1}4\right) - \Psi\left(\frac{3-\sqrt{5}}4\right) = \pi \ctg\left(\pi \frac{3-\sqrt{5}}4\right)$$

и

$$\Psi\left(\frac{5-\sqrt{5}}4\right) - \Psi\left(\frac{\sqrt{5}+3}4\right) = \left(\frac{1-\sqrt{5}}4\right)^{-1} + \Psi\left(\frac{1-\sqrt{5}}4\right) - \Psi\left(\frac{\sqrt{5}+3}4\right) = - (1+\sqrt{5}) + \pi \ctg\left(\pi \frac{3+\sqrt{5}}4\right).$$

Получаем, что сумма ряда равна:

$$ \frac{\pi}4 \left( \ctg\left(\pi \frac{3-\sqrt{5}}4\right) + \ctg\left(\pi \frac{3+\sqrt{5}}4\right) \right) - \frac{1+\sqrt{5}}4.$$

[Vvp_57]

Большое спасибо, maxal! Вам можно позавидовать. Классное решение! Правда у меня при "изобретении" было выражение:
$\frac{\pi }{2\sin \left(\frac{2\pi }{1+\sqrt{5}} \right)}-\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4} \right)$
Впрочем это совершенно ничего неменяет. Ваш ответ мне больше нравиться.( синус в знаменателе мне честно говоря не очень).