2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сложный ряд.
Сообщение26.09.2010, 19:42 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Найдите пожалуйста числовое алгебраическое выражение для ряда:
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(-1 \right)^k\cdot \frac{\left(k^2+1 \right)-\left(k^2-1 \right)\sqrt{5}}{2\left(k^4-3k^2+1\right)}=0,876328157425986640580....$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложный ряд.
Сообщение26.09.2010, 20:20 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Разлагая на простейшие дроби, имеем
$$\frac{\left(k^2+1 \right)-\left(k^2-1 \right)\sqrt{5}}{2\left(k^4-3k^2+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{5}-1+2k}+\frac{1}{\sqrt{5}-1-2k}$$
и поэтому ряд сворачивается к дигаммам:
$$\frac{1}{4}\left( \Psi\left(\frac{\sqrt{5}+1}4\right) + \Psi\left(\frac{5-\sqrt{5}}4\right) - \Psi\left(\frac{\sqrt{5}+3}4\right) - \Psi\left(\frac{3-\sqrt{5}}4\right) \right).$$

Ну а дальше ловкость рук:
$$ \Psi\left(\frac{\sqrt{5}+1}4\right) - \Psi\left(\frac{3-\sqrt{5}}4\right)  = \pi \ctg\left(\pi \frac{3-\sqrt{5}}4\right)$$
и
$$\Psi\left(\frac{5-\sqrt{5}}4\right) - \Psi\left(\frac{\sqrt{5}+3}4\right) = \left(\frac{1-\sqrt{5}}4\right)^{-1} + \Psi\left(\frac{1-\sqrt{5}}4\right)  - \Psi\left(\frac{\sqrt{5}+3}4\right) =  - (1+\sqrt{5}) + \pi \ctg\left(\pi \frac{3+\sqrt{5}}4\right).$$

Получаем, что сумма ряда равна:
$$ \frac{\pi}4 \left( \ctg\left(\pi \frac{3-\sqrt{5}}4\right) + \ctg\left(\pi \frac{3+\sqrt{5}}4\right) \right) - \frac{1+\sqrt{5}}4.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложный ряд.
Сообщение26.09.2010, 22:52 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Большое спасибо, maxal! Вам можно позавидовать. Классное решение! Правда у меня при "изобретении" было выражение:
$\frac{\pi }{2\sin \left(\frac{2\pi }{1+\sqrt{5}} \right)}-\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4} \right)$
Впрочем это совершенно ничего неменяет. Ваш ответ мне больше нравиться.( синус в знаменателе мне честно говоря не очень).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gagarin1968


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group