Декартовы координаты. Радиус вписанной окружности в треугол.

[math_lover]

Декартовы координаты. Радиус вписанной окружности в треугольник

Здравствуйте. Помогите пожалуйста найти радиус и координаты центра окружности, вписанной в треугольник—известны его вершины.
Например: $\[A\left( { - 25;15 - 15\sqrt 3 } \right),B\left( { - 25 + 20\sqrt 3 ; - 5 - 15\sqrt 3 } \right),C\left( { - 10;15} \right)\] $

Самое главное: найти радиус и координаты с помощью системы уравнений, т.е. координаты должны быть в уравнении, без предыдущей обработки, возможно ли это?

Для окружности, описанной около треугольника это возможно:

$\[\left\{ \begin{array}{l} {\left( { - 10 - x} \right)^2} + {\left( {15 - y} \right)^2} = {R^2}, \\ {\left( { - 25 - x} \right)^2} + {\left( {15 - 15\sqrt 3 - y} \right)^2} = {R^2}, \\ {\left( { - 25 + 20\sqrt 3 - x} \right)^2} + {\left( { - 5 - 15\sqrt 3 - y} \right)^2} = {R^2}. \\ \end{array} \right.\] $

Я уже даже составил уравнение вписанной окружности, касательных к окружности, точки касаний и т.д.

$\[\begin{array}{l} {\left( {x + 20 - 5\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y + 10\sqrt 3 - 10} \right)^2} = 100 \\ y = \frac{{30\sqrt 3 - 85 - 4x - 3\sqrt 3 x}}{{4\sqrt 3 - 3}} \Rightarrow BC \\ \left( {8\sqrt 3 - 16;7 - 6\sqrt 3 } \right) \\ .............................. \\ \end{array}\] $

Но, радиус вписанной окружности пришлось находить по формуле $\[r = \frac{S}{p}\] $, и координаты тоже... Для этого пришлось сначала длины сторон вычислять

Это не домашнее задание, собственный интерес, координаты я специально такие выбрал, чтобы радиус и точки касания по проще выглядели... Для меня важен сам ход вычисления (через уравнение), а не ответы. Заранее спасибо

[Yu_K]

http://mathworld.wolfram.com/Incenter.html - ответы здесь - но они вам не нужны.

Попробуйте начать с того что, выписать уравнения биссектрис и искать точку их пересечения, либо приравнять расстояния до сторон (как правило там получается 4 точки в ответе - 3 центры вневписанных окружностей и 1 точка центр вписанной окружности).

[vvvv]

math_lover в сообщении #356279 писал(а):

Декартовы координаты. Радиус вписанной окружности в треугольник

Здравствуйте. Помогите пожалуйста найти радиус и координаты центра окружности, вписанной в треугольник—известны его вершины.
Например: $\[A\left( { - 25;15 - 15\sqrt 3 } \right),B\left( { - 25 + 20\sqrt 3 ; - 5 - 15\sqrt 3 } \right),C\left( { - 10;15} \right)\] $

Самое главное: найти радиус и координаты с помощью системы уравнений, т.е. координаты должны быть в уравнении, без предыдущей обработки, возможно ли это?

Для окружности, описанной около треугольника это возможно:

$\[\left\{ \begin{array}{l} {\left( { - 10 - x} \right)^2} + {\left( {15 - y} \right)^2} = {R^2}, \\ {\left( { - 25 - x} \right)^2} + {\left( {15 - 15\sqrt 3 - y} \right)^2} = {R^2}, \\ {\left( { - 25 + 20\sqrt 3 - x} \right)^2} + {\left( { - 5 - 15\sqrt 3 - y} \right)^2} = {R^2}. \\ \end{array} \right.\] $

Я уже даже составил уравнение вписанной окружности, касательных к окружности, точки касаний и т.д.

$\[\begin{array}{l} {\left( {x + 20 - 5\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y + 10\sqrt 3 - 10} \right)^2} = 100 \\ y = \frac{{30\sqrt 3 - 85 - 4x - 3\sqrt 3 x}}{{4\sqrt 3 - 3}} \Rightarrow BC \\ \left( {8\sqrt 3 - 16;7 - 6\sqrt 3 } \right) \\ .............................. \\ \end{array}\] $

Но, радиус вписанной окружности пришлось находить по формуле $\[r = \frac{S}{p}\] $, и координаты тоже... Для этого пришлось сначала длины сторон вычислять

Это не домашнее задание, собственный интерес, координаты я специально такие выбрал, чтобы радиус и точки касания по проще выглядели... Для меня важен сам ход вычисления (через уравнение), а не ответы. Заранее спасибо

Ну, поскольку это не домашнее задание, то модераторы, думаю мне простят и в очередной раз не забанят из-за того, что не пользуюсь
LaTex`ом и привожу решение с вычислениями в Маткаде.
Можно, добавив третью координату (z=0) координатам заданных вершин треугольника, использовать понятие векторного произведения
(хотя, конечно, это необязательно). Короче см. картинку.

[math_lover]

Уравнения биссектрис для вершин $\[A\] $ и $\[B\] $:

$\[\begin{array}{l} {l_B} \Rightarrow \left( {3 + \sqrt 3 } \right)x + \left( {3\sqrt 3 - 1} \right)y - 35\sqrt 3 + 145 = 0 \\ {l_A} \Rightarrow \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y - 55 + 25\sqrt 3 = 0 \\ \end{array}\] $

Точка их пересечения: $\[O\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] $

$\[\left( {5\sqrt 3 - 20;10 - 10\sqrt 3 } \right)\] $

А радиус? Как его найти?

@vvvv
С векторами я еще не очень, но была бы причина с ними разобраться, так как на первый взгляд вычисление координат и радиуса выглядит очень просто... Только это моё предположение, на самом деле Вы это в программе вычислили.

Поэтому меня сейчас интересует, как можно найти радиус?

[gris]

Расстояние от центра до стороны. Или можно посчитать площадь по формуле Герона и разделить на полупериметр.

[math_lover]

Цитата:

Расстояние от центра до стороны. Или можно посчитать площадь по формуле Герона

Перпендикуляр на $AC$:

$\[\sqrt 3 x + 3y - 45 + 50\sqrt 3 = 0\] $

Точка их пересечения:

$\[\left( { - 20;15 - 10\sqrt 3 } \right)\] $

Расстояние от центра до стороны:

$\[d = \sqrt {{{\left( { - 20 - \left( {5\sqrt 3 - 20} \right)} \right)}^2} + {{\left( {15 - 10\sqrt 3 - \left( {10 - 10\sqrt 3 } \right)} \right)}^2}} = 10\] $

Итак: Нахождение центра вписанной окружности и её радиуса через биссектрисы требует ещё больше времени, чем по формуле Герона и этим формулам:

$\[\begin{array}{l} {x_m} = \frac{{a \cdot {x_A} + b \cdot {x_B} + c \cdot {x_C}}}{{a + b + c}} \\ {y_m} = \frac{{a \cdot {y_A} + b \cdot {y_B} + y \cdot {x_C}}}{{a + b + c}} \\ \end{array}\] $

Особенно мне не нравится формула биссектрис двух прямых, так как там находятся сразу 2 биссектрисы, и я сразу не могу правильную биссектрису угадать (трата времени):

$\[\frac{{{A_1}x + {B_1}y + {C_1}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2} }} = \pm \frac{{{A_2}x + {B_2}y + {C_2}}}{{\sqrt {A_2^2 + B_2^2} }}\] $

Или может кто знает, как можно сразу брать правильный знак ($\[ + \] $ или $\[ - \] $)?

А главное: должен я все-таки согласиться, что радиус и координаты центра вписанной окружности не так легко и елегантно вычисляются, как для окружности, описанной около треугольника (напрямую, через систему уравнений)?

[Yu_K]

Попробуйте сами вывести ур-ние биссектрисы угла внутри треугольника - противоположную углу сторону треугольника разделите в отношении длин боковых сторон и проведите прямую (найдите уравнение) - и будет вам однозначность.