множества

[truth]

Цитата:

разобъепер, хотя некоторые называют симметрической разностью (для двух)

Доказать, что для любых множеств $A$ и $B$ существует единственное решение $X$ уравнения

$$(A\cup{X}) - (A\cap{X})=B$$

Найти формулу, явно выражающую $X$ через $A$ и $B$.
Извиняюсь за знак "минус" - не знаю как ввести его правильно.

У меня есть решение второго вопроса, однако оно не моё, посему буду разбираться по ходу дела, уповая на критику.
Итак, вот решение.
$B=(A\cap{B}) \cup{B}=$, т.е. множества не пересекаются, $=(A-(A-B))\cup{(B-(A-B))}=$ здесь одно предположение хуже другого - воздержусь, $=(A\cup{B})-(A-B)=$ ну здесь всё понятно, $=(A \cup{(A-B)}\cup{(B-A)})-(A-B)$, здесь тоже $B$ получается, $=(A\cup{((A-B)\cup{(B-A)})})-(A\cap{((A-B)\cup{(B-A)})}).$, отсюда, где как и в $(A-(A-B))\cup{(B-(A-B))}=$ $B$ вроде, не выходит, получаем, что

$$X=(A-B)\cup{(B-A)}$$

что, судя по кругам Эйлера-Вена, верно.
Буду рад услышать разъяснения непонятых мною частей, и, возможно, идеи - как доказать первое.

[ewert]

truth в сообщении #356203 писал(а):

Цитата:

разобъепер, хотя некоторые называют симметрической разностью (для двух)

Доказать, что для любых множеств $A$ и $B$ существует единственное решение $X$ уравнения

$$(A\cup{X}) - (A\cap{X})=B$$

Это неправда. Таких иксов ну просто жутко много.

[truth]

Цитата:

Это неправда. Таких иксов ну просто жутко много.

Ну, как я понимаю, $X$ - это множество...

[ewert]

вот именно. А что такое "множество"?... это -- один из объектов, каковых много.

(ладно, шутю, но ни о какой единственности тут речи быть всё-таки не может)

[truth]

Цитата:

...ни о какой единственности тут речи быть всё-таки не может

Гм, это и есть ответ на первый вопрос?
А что по поводу второго? (если можно)

P.S. Задачку списал правильно.

[ewert]

<стёр, ибо мне явно пора спать -- чего-то к-во зевков зашкаливает>

(кстати, насчёт значка минуса особо стесняться не стоит -- он достаточно общепринят. А если уж приспичит, то можно заменить на политкорректное "\setminus ")

[gris]

Ваш "разобъепер" обычно обозначается так:

$$A\triangle B=(A\cup{X}) \setminus (A\cap{X})$$

Опять опоздал!

[truth]

Цитата:

Ваш "разобъепер"

"Разобъепер" как раз Ваш - цитита в начале первого поста Ваша

Цитата:

Опять опоздал!

В принципе, задачка не решена ещё

[gris]

Надо же, чего только от себя не услышишь.
Насчёт единственности и прочего.
Операция Симметрической Разности превращает любой булеан в абелеву группу с пустым множеством в виде нуля. Каждое множество является обратным самому себе. Поэтому единственным решением уравнения $A\triangle X=B$ является множество $X=A\triangle B$, что, кстати, в точности равно Вашему выражению.
Но это решение в булеане объединения $A\cup B$
А что может быть кроме?

[Виктор Викторов]

truth в сообщении #356203 писал(а):

Доказать, что для любых множеств $A$ и $B$ существует единственное решение $X$ уравнения

$$(A\cup{X}) - (A\cap{X})=B$$

ewert в сообщении #356209 писал(а):

Это неправда. Таких иксов ну просто жутко много.

Перепишем это уравнение так $(A\setminus X)\cup(X\setminus A)=B$.
Я рассматриваю случай, когда $A$ и $B$ не пусты и $A\neq B$. Остальные случаи разберите сами.
Пусть у нас уже есть одно решение $X_0$. Тогда это разбиение. Множество $B$ разбито на два взаимно непересекающихся множества. Пусть $X_1$ другое решение уравнения. И $c\in X_1$, но $c\notin X_0$, тогда рассмотрим два случая:
1. $c\in A$, тогда $c\notin {(A\setminus X_1)\cup (X_1\setminus A)$, но $c\in {(A\setminus X_0)\cup (X_0\setminus A)$ и следовательно $(A\setminus X_1)\cup (X_1\setminus A)\neq B$.
2. $c\notin A$, тогда $c\in {(A\setminus X_1)\cup (X_1\setminus A)$, но тогда $c\notin {(A\setminus X_0)\cup (X_0\setminus A)$ и следовательно $(A\setminus X_1)\cup (X_1\setminus A)\neq B$.

Теперь рассмотрим вариант $c\in X_0$ и $c\notin X_1$, тогда рассмотрим опять два случая:
1. $c\in A$, тогда $c\notin {(A\setminus X_0)\cup (X_0\setminus A)$, но $c\in {(A\setminus X_1)\cup (X_1\setminus A)$ и следовательно $(A\setminus X_1)\cup (X_1\setminus A)\neq B$.
2. $c\notin A$, тогда $c\in {(A\setminus X_0)\cup (X_0\setminus A)$, но тогда $c\notin {(A\setminus X_1)\cup (X_1\setminus A)$ и следовательно $(A\setminus X_1)\cup (X_1\setminus A)\neq B$.

Смотрится, что решение единственно. evert! Если я вру, хотелось бы знать где.

В первую минуту я подумал, что

Цитата:

разобъепер...

это Робеспьер.

[Виктор Викторов]

truth в сообщении #356203 писал(а):

Доказать, что для любых множеств $A$ и $B$ существует единственное решение $X$ уравнения

$$(A\cup{X}) - (A\cap{X})=B$$

Найти формулу, явно выражающую $X$ через $A$ и $B$.

Если переписать уравнение так $(A\setminus X)\cup(X\setminus A)=B$, то формула (чему равен $X$) очевидна. Нужно только представить, что нужно выкинуть из $A$ и что добавить к нему для получения $B$.

[Padawan]

Надо заметить, что $(A\Delta B)\Delta C = A\Delta (B\Delta C)$, $A\Delta B=B\Delta A$, $A\Delta A=\varnothing$, $A\Delta\varnothing=A$. И к равенству $A\Delta X = B$ применить слева $A\Delta$.
В принципе gris все расписал.

[Виктор Викторов]

Padawan! Вы и gris правы. Я предложил переписать уравнение $(A\cup{X}) \setminus (A\cap{X})=B$ в равносильное ему $(A\setminus X)\cup(X\setminus A)=B$ для того, чтобы это (то, что Вы оба правы) было легче заметить. Три основных операции над множествами объединение, пересечение и вычитание не имеют обратных операций. А операция симметрической разности имеет обратную операцию. Более того – она сама себе обратная. Рассматриваемый пример, как раз, на эту тему.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #356261 писал(а):

Смотрится, что решение единственно. evert! Если я вру, хотелось бы знать где.

Нет, наверное, нигде, разве что слишком длинно. Операция XOR действительно обратима. Я просто невнимательно прочитал условие.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #356313 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #356261 писал(а):

Смотрится, что решение единственно. evert! Если я вру, хотелось бы знать где.

Нет, наверное, нигде, разве что слишком длинно. Операция XOR действительно обратима. Я просто невнимательно прочитал условие.

Длинно! Конечно, длинно. Привык я, что Вы много знаете и часто правы.