многочлен из экспонент, количество корней

[oposum]

Как доказать, что многочлен из экспонент $\sum\limits_{i=0}^nc_ie^{\lambda_it},\, \lambda_0<\lambda_1<\cdots<\lambda_n,$ имеет не более $n$ вещественных корней?

[Хорхе]

По индукции.

[gris]

Мне видится в многочлене решение дифференциального уравнения. Нельзя это как-нибудь использовать?

[Хорхе]

Впрочем, синус с косинусом тоже кагбэ решения (линейного) дифференциального уравнения. Так что вряд ли это поможет.

[oposum]

В книжке, которую я сейчас разбираю, написано, что это очевидным образом доказывается с помощью теоремы Ролля

[Хорхе]

Так и есть, книга не врет :)
Только теорему Ролля надо применять не к самой функции (это ничего не даст, ведь останется, как и было, $n$ экспонент). Подумайте, как ее можно преобразовать, чтобы экспоненты "убивались" при дифференцировании.

[terminator-II]

gris в сообщении #356056 писал(а):

Мне видится в многочлене решение дифференциального уравнения. Нельзя это как-нибудь использовать?

Конечно можно.
$x(t)=\sum_{k=1}^mc_ke^{\lambda_kt}$ -- решение линейного диф. уравнения $m$-го порядка с хар. многочленом имеющим корни $\lambda_k\in\mathbb{R}$, корни не совпадают, все как в условии задачи. И это решение таково, что $x(t_i)=0,\quad i=1,...,m$.
Рассмотрим решения $x_i(t)=x(t-t_1+t_i)$, ($t_i$ все различны). По теореме существования и единственности и т.к.
$x_i(t_1)=0$. Эти решения линейно зависимы. Что возможно только если все $c_k$ равны нулю.

[ewert]

terminator-II в сообщении #356135 писал(а):

[quote="gris в сообщении #356056"Конечно можно.
$x(t)=\sum_{k=1}^mc_ke^{\lambda_kt}$ -- решение линейного диф. уравнения $m$-го порядка с хар. многочленом имеющим корни $\lambda_k\in\mathbb{R}$, корни не совпадают, все как в условии задачи. И это решение таково, что $x(t_i)=0,\quad i=1,...,m$.
Рассмотрим решения $x_i(t)=x(t-t_1+t_i)$, ($t_i$ все различны). По теореме существования и единственности и т.к.
$x_i(t_1)=0$. Эти решения линейно зависимы. Что возможно только если все $c_k$ равны нулю.

Наверняка можно, но уж точно не так. Где здесь использована вещественность корней?...

[terminator-II]

ewert в сообщении #356137 писал(а):

Где здесь использована вещественность корней?...

Распишите линейную комбинацию решений $x_i(t)$ увидите.

[ewert]

Да как я могу это увидеть, когда не наблюдаю даже и намёка на вещественность. Пока, во всяком случае. А она существенна.

[lel0lel]

От противного можно.

[ewert]

Наверное, самый разумный вариант:

Хорхе в сообщении #356082 писал(а):

Только теорему Ролля надо применять не к самой функции (это ничего не даст, ведь останется, как и было, экспонент). Подумайте, как ее можно преобразовать, чтобы экспоненты "убивались" при дифференцировании.

Ну плюс индукция, конечно. Она (после домножения) проходит просто мгновенно.

[terminator-II]

да не получается с дифурами, остается только максимумы/минимумы пересчитывать