На самом деле нас в этой задаче интересуют порядковые статистики

(если быть совсем точным, то нас интересует вторая порядковая статистика для шестиэлементной выборки) экспоненциального распределения. Там легко написать плотность. Можно, к примеру, использовать квантильное преобразование:

будет порядковой статистикой для равномерного распределения, а тут уж плотность найти совсем просто, зная, что вектор порядковых статистик равномерно распределен в симплексе

.
Есть еще такой замечательный факт про порядковые статистики выборки размера

из показательного распределения

: они распределены точно так же, как

, где величины

независимы и

(отсюда, например следует, что промежуток между двумя последними порядковыми статистиками имеет такое же распределение, как и сами величины; в терминах отказов: интервал между двумя последними отказами имеет такое же распределение, как и время жизни каждого элемента). Из этого незамедлительно следует, что искомое среднее равно

.
(Кстати, этот замечательный факт вполне очевиден, если вспомнить об отсутствии памяти у экспоненциального распределения.)