Дроби с корнями

[dnoskov]

Скажите, уважаемое сообщество, а есть ли какие-нибудь вменяемые способы последовательного логического рассуждения над примерами (которые я приведу далее), позволяющие решить их не прибегая к рискованным (в смысле, возможно и не верным) и требующим значительных затрат времени предположениям?

Вот примеры:

Сократите дробь:
в) $\frac{8+2\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}}$
Здесь мне не даёт покоя тот факт, что будь пример вот таким: $\frac{8+3\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}}=\frac{2+2\sqrt{6}+\sqrt{6}+6}{2+\sqrt{6}}=\frac{2(1+\sqrt{6})+\sqrt{6}(1+\sqrt{6})}{2+\sqrt{6}}=\frac{(1+\sqrt{6})(2+\sqrt{6})}{2+\sqrt(6)}=1+\sqrt{6}$
... но он не таков (а может это и опечатка в злосчастном задачнике "Звавич - Алгебра - Задачник - 8кл.", в котором я уже обнаружил тонну опечаток), а, по-видимому, данный пример тоже как-то решаем (WolframAlpha говорит: вот что), однако никаких вменяемых путей для подобного сокращения я не вижу.

г) $\frac{4+2\sqrt{10}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
Разложением числителя получаем $\frac{4+2\sqrt{10}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{4+2\sqrt{2}\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{4+\sqrt{2}\sqrt{5}+\sqrt{2}\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}...$ дальше рассудок меня подводит. А вот WolframAlpha говорит, что результат будет $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$. И действительно, подставляя произведение $(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$ в числитель, получаем исходную дробь. НО!!! Как прийти от дроби $\frac{4+2\sqrt{10}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ к $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ каким-нибудь более менее очевидным путём - не пойму.

[ИСН]

Разложение числителя - это плохой, негодный путь. Правильный подход лежит в ящике с названием "избавление от иррациональности в знаменателе": множим знаменатель на что-то, чтобы он стал проще.

[AKM]

dnoskov в сообщении #355999 писал(а):

в) $\frac{8+2\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}}$

В следующей строке Вы решаете другую задачу. Кнопка пока активна.

[dnoskov]

AKM
Это намеренно. Это я к тому, что может быть в примере опечатка, что не является редкостью для указанного задачника. Я уже довольно много примеров так "исправил". Но здесь меня терзают сомнения. Потому я обращаюсь за помощью к людям знающим (Нет, к авторам задачника я, конечно, напишу, когда накопится побольше опечаток).

-- Сб сен 25, 2010 14:31:11 --

ИСН
Это было бы вполне так, если бы во всех примерах в задании было бы нечто подобное.
Меня беспокоит тот факт, что в примерах а) и б) нет и намёка на избавление от иррациональности, да и задание гласит "Сократите дробь":

а) $\frac{5+\sqrt{15}}{3+\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

б) $\frac{11-\sqrt{22}}{2-\sqrt{22}}=\frac{\sqrt{11}(\sqrt{11}-\sqrt{2})}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{11})}=-\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$

в, г) приведены в первом сообщении.

Вот. А первые задания на избавление от иррациональности, т.е., где указано "избавьтесь от иррациональности в знаменателе" начинаются дальше (со следующего задания)

-- Сб сен 25, 2010 14:34:44 --

ИСН
Всё равно, большое спасибо за указание.
Теперь я попробую именно так.

[MrDindows]

$\frac{8+2\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}}$
Домножьте числитель и знаменатель на ${2-\sqrt{6}$

[gris]

В принципе можно и сократить, что такого:

в)$\dfrac{8+2\sqrt6}{2+\sqrt6}=\dfrac{12-4+4\sqrt6-2\sqrt6}{2+\sqrt6}=\dfrac{4\sqrt6+12-4-2\sqrt6}{2+\sqrt6}=$

$=\dfrac{2\sqrt6\cdot(2+\sqrt6)-2\cdot(2+\sqrt6)}{2+\sqrt6}=2\sqrt6-2$

Обычный способ группировки.

Вторая дробь сокращается точно так же. Надо лишь увидеть, что $\sqrt{10}=\sqrt2\cdot\sqrt5$
Ну а продвинутый школьник сразу увидит Теорему Пифагора.

[dnoskov]

gris

Цитата:

Вторая дробь сокращается точно так же. Надо лишь увидеть, что $\sqrt{10}=\sqrt2\cdot\sqrt5$

Вот я увидел (ещё в первом сообщении), но дальше мне не очевидно, что $4=2-3+5$, хотя такой намёк и имеется конечно (и я далеко не продвинутый школьник). Может быть есть какая-либо литература по теме. Буду признателен, если расскажете.

ЗЫ. В учебнике, к которому прилагается данный задачник, эти вопросы освещены как-то вяло, вне связи с чем бы то ни было и, к тому же, задолго до приведённых примеров.

ЗЗЫ. Можете по подробнее о теореме Пифагора (Я в курсе про существование Пифагоровых троек, но не в курсе относительно их приложения в данном случае)?

[gris]

Я примерно это и имел в виду, что какая-то комбинация из квадратов трёх корней из знаменателя равна целому числу в числителе.
Там ещё и удвоенное произведение двух корней. На что это намекает?
На формулу квадрата суммы трёх сомножителей.
Но в ней три удвоенных произведения. И сумма трёх квадратов. Значит у нас произведение знаменателя на какое-то выражение с изменёнными знаками:

$${4+2\sqrt{10}}=2-3+5+0\cdot\sqrt{6}+0\cdot\sqrt{15}+2\cdot\sqrt{10}=(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5})\cdot(\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{3}\pm\sqrt{5})$$

Осталось правильно выбрать знаки во второй скобке. В таких задачах важна наблюдательность и интуиция. А теории какой-то специальной нет. Есть приёмы и трюки. Полезно ли это? Нужно ли? Я не знаю.

[dnoskov]

Сравните числа:
$\frac{8}{17}$ и $\frac{1}{2+\sqrt{17-12\sqrt{2}}}$

Имеем:
$\frac{1}{2+\sqrt{17-12\sqrt{2}}}=\frac{2-\sqrt{17-12\sqrt{2}}}{4-17+12\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{17-12\sqrt{2}}}{12\sqrt{2}-13}\cdot\frac{12\sqrt{2}+13}{12\sqrt{2}+13}=\frac{(2-\sqrt{17-12\sqrt{2}})(12\sqrt{2}+13)}{7\cdot17}$

Дальше ума не приложу.... разве что скобки раскрыть (???)... получается нечто несусветное...

$\frac{24\sqrt{2}-12\sqrt{2}\sqrt{17-12\sqrt{2}}+26-13\sqrt{17-12\sqrt{2}}}{7\cdot17}$

тогда дальше точно не понимаю. Подскажите пожалуйста, кто знает.

Не дублируйте темы - обсуждайте однотипные задачки в одной. Темы объединены.

[EtCetera]

Тут скорее нужен такой прием:
$17-12\sqrt{2}=3^2-2\cdot 3\cdot 2\sqrt{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^2=\dots$
Остается не забыть про модуль в тождестве $\sqrt{a^2}=|a|$.

[dnoskov]

gris

Цитата:

На формулу квадрата суммы трёх сомножителей.

Которой нема.... по-крайней мере в 8-м классе по Мордковичу - это главарь авторского коллектива учебника. Однако это не помешало его дружку Звавичу - это главарь авторского коллектива задачника - впихнуть задачи, для которых нет теории ни в учебнике ни в задачнике.

Цитата:

Осталось правильно выбрать знаки во второй скобке.

Вот мне точно такая же мысль пришла после того, как я посмотрел на вывод WolframAlpha

Цитата:

Полезно ли это? Нужно ли? Я не знаю.

Полагаю нужно, но если это включать в курс алгебры (пускай и углубленный), то нужно, наверное, это обеспечивать соответствующей теорией. Это чтобы изучение каких-то более-менее глубоких тем математики не превращалось в детектив.

В любом случае Большое Вам Спасибо. Теперь-то я напал на след...

[gris]

Да, это тоже один из приёмов почти на теорему Виета:

$(\sqrt a\pm\sqrt b)^2=(a+b)\,\pm2\sqrt{ab}$

Надо формулу применять задом наперёд. Обычно в задачах решение в нутуральных числах. Я бы вне корня оставлял только двойку, а остальное как в теореме Виета. Подобрать два числа по заданным сумме и произведению. Но можно и честно решить через квадратное уравнение.
У Вас сумма 17, произведение 72.

[V.V.]

Зачем такие сложности?

$\frac{8}{17}$ и $\frac{1}{2+\sqrt{17-12\sqrt{2}}}$

$2+\sqrt{17-12\sqrt{2}}$ и $\frac{17}{8}$

$\sqrt{17-12\sqrt{2}}$ и $\frac{1}{8}$

$17-12\sqrt{2}$ и $\frac{1}{64}$

$17-\frac{1}{64}$ и $12\sqrt{2}$

....

[gris]

Вот уж отнюдь. Я как-то раз преподавал математику в 7 классе по Мордковичу и там разбирается ровно такой пример. Правда без корней. Даже наглядно описаны трепыхания соискателя пятёрки у доски. Раскладыается он через разность квадратов. Видите, а я забыл. Рулит Мордкович

Алгебра 7. Параграф 23 пример 2.

Вот что значит давненько не раскладывать на множители.

$${4+2\sqrt{10}}=2-3+5+2\cdot\sqrt{10}=(2+2\cdot\sqrt{10}+5)-3=(\sqrt2+\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2=$$

$$=(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{3})\cdot(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{3})$$

[dnoskov]

gris

Теорема Виета будет, к сожалению, только через главу, так что и о квадратных уравнениях пока рано.
Я уже решил с подачи EtCetera. Если так интерпретировать, то дальше всё сводится к обычным неравенствам, с которыми я, по счастью, справился.


EtCetera

Эх, я от радости даже подпрыгнул. Надо же, как спрятали.

Большое Вам Спасибо!

-- Сб сен 25, 2010 21:39:09 --

V.V.

Да, вот об этом бы я точно никогда бы не подумал в свете задач, которые следовали чуть раньше.
Но это, конечно, очень красиво. Надо будет иметь в виду. Спасибо.