Несколько вопросов по теории чисел

[polyedr]

1.Правда ли, что равенство $\lim\limits_{n\to\infty}(\{f(n)\}+\{f^{-1}(n)\})=1$ является необходимым и достаточным условием для существования предела $\lim\limits_{n\to\infty}\{f(n)\}=const$, где $f^{-1}(n)$ - функция, обратная к $f(n)$ причем область значений непрерывной на $R$ функции $f$ принадлежит $R$?
2.Привести примеры пределов $\lim\limits_{n\to\infty}\{f(n)\}=const$, где $f$ также непрерывна на $R$ и область ее изменения суть действительные числа.
Примечание: функция $f$ не равна константе;
фигурные скобки обозначают взятие дробной части. В качестве примера можно, например, взять функцию $f(n)=\sqrt{n^2+bn+c}$. Как видно в этом случае первый вопрос подтверждается. Вообще неясно, вытекает ли из равенства $\lim\limits_{n\to\infty}(\{f(n)\}+\{f^{-1}(n)\})=1$ существование предела $\lim\limits_{n\to\infty}\{f(n)\}$ неравного нулю, если, например, $f(n)=e^{P_k(n)}$, где $P_k(n)$ - многочлен степени $k$ с действительными коэффициентами. То есть, фактически требуется проверить справедливость формулы $\lim\limits_{n\to\infty}(\{f(n)\}+\{f^{-1}(n)\})=1$,а и исходя из этого сделать вывод о существовании $\lim\limits_{n\to\infty}\{f(n)\}$.

[ИСН]

ется
Это я намекаю, что в Вашем сообщении перед началом и после конца пропущено довольно много букв. Что-то подразумевается. Что за функция, какая, откуда куда, с какими дополнительными квирками (обратимая?), зачем, почему...

[polyedr]

Товарищ ИСН, что под этим понимать?

[ewert]

ну например, что эн -- это, конечно, число, и лим -- тоже неплохо, но вовсе не теория чисел. А во-вторых, что, например, по второму вопросу ответ тривиален: чтобы получить константу -- достаточно взять константу. И, наконец, вообще непонятно, что такое константа. И ваще.

[zhoraster]

polyedr, сформулируйте четко вопрос -- что за функции, где определены и какие значения принимают, что значат фигурные скобки и т.д. И укажите конкретные затруднения, решать за Вас задачи никто не будет.

[AKM]

Возвращаю тему из Карантина.
Предполагаю в качестве неуказанных затруднений нечто вроде "как подступиться к доказательству?"

polyedr,
предлагаю Вам более стандартный механизм возвращения темы: после исправления пишем сюда: Сообщение в карантине исправлено, чтобы кто-нибудь из модераторов вернул тему.

[ИСН]

Всё-таки я должен повторить моё замечание. Подразумевается ещё довольно много невысказанных условий. Должна ли область значений покрывать всё $\mathbb R$? Судя по Вашему же примеру - не должна. Тогда извольте: $f(n)=\arctg n$. Нравится? Нет? Почему?

[polyedr]

Цитата:

Тогда извольте: $f(n)=\arctg n$. Нравится? Нет? Почему?

Нравится!
Несколько уточнений: область значений функции $f$ принадлежит $\mathbb R$ кроме промежутка $[0;1]$(то есть, необязательно покрывает $\mathbb R$). Тогда рассмотрим частный случай: существует ли такой полином $P_k(n)$ с положительными действительными коэффициентами, что $\lim\limits_{n\to\infty}\{e^{P_k(n)}\}=c$, постоянная $c$ не равна нулю. Нравится Вам такой пример? Да, нет? Почему?

[ИСН]

Примера не вижу, вижу задачу. Нравится ли она мне - сложный вопрос. Зависит от того, красив ли ответ, и как сама задача вырастает из предыдущих...
По делу: да, существует. Например, $P(n)=n\cdot 3\ln\left({1+\sqrt 5\over 2}\right) + \ln\left({5+\sqrt 5\over 4}\right)$

[polyedr]

А слабо для степени больше 2, причем сам полином степенью монома не является! В Вашем примере сама функция $e^{P(n)}$ превращается в n, если прикинуть на глаз, что само собой очевидно, но это не контрпример данной задачи, а тривиальный случай. Я даже попробую представить Ваш следующий ответ: полином будет иметь логарифмические коэффициенты ( и тогда ,впринципе, сама функция $e^{P(n)}$ превращается во что то типа $n^k$).

[ИСН]

В $n$ она не превращается, это неправда (или Вы что-то другое имели в виду?)
Для степени больше 2 - извольте: в моём примере поменяйте $n$ на $n^3$

[polyedr]

Превращается в $\left({1+\sqrt 5\over 2}\right)^{3n}\cdot \left({5+\sqrt 5\over 4}\right)$. Смотрим что вышло: $\left({1+\sqrt 5\over 2}\right)^{3n}\cdot \left({5+\sqrt 5\over 4}\right)=\frac{A_n+B_n\cdot\sqrt{5}}{2^{3n+2}}$, где $A_n$ и $B_n$ целые, делящиеся на $2^{3n+2}$, числа. Дальше, получается, что $\lim\limits_{n\to\infty}\{\frac{A_n+B_n\cdot\sqrt{5}}{2^{3n+2}}\}=\lim\limits_{n\to\infty}\{\frac{B_n\cdot\sqrt{5}}{2^{3n+2}}\}\ne const$, так как $\frac{B_n}{2^{3n+2}}$ целое. А если подставить $n^3$ вместо $n$, то и подавно предел будет непостоянен. Верно?

[ИСН]

Нет. Посчитайте на компе хотя бы 10 первых членов.

[polyedr]

То есть, если я правильно понял предел равен 1/2. А сможете привести еще пределы .

[ИСН]

Нет, не 1. Посчитайте... а, я это уже говорил.