Проверьте, пожалуйста.
Покажите, что для всякого несчётного множества
можно указать точку
, любая окрестность которой пересекается с
по несчётному множеству.Т. е. надо доказать, что

.
Предположим обратное:

. В этом случае берём любую точку

и её окрестность

, которая пересекается с

по счётному множеству. Затем берём любую точку

и её окрестность

с тем же свойством. И т. д. продвигаемся в обе стороны, пока не покроем всё

. В каждой окрестности можно выбрать рац. точку такую, чтобы ни в одну другую окрестность она не входила. Т. к. подмножество рац. чисел не более, чем счётно, то и этих окрестностей тоже. Пересечение каждой окрестности с

счётно (из предположения). А объединение не более чем счётного числа счётных множеств счётно. Но в условии дано, что

несчётно. Противоречие.