Верещагин, Шень. Задача 54 (несчетные множества...)

[caxap]

Проверьте, пожалуйста.

Покажите, что для всякого несчётного множества $A\subset \mathbb R$ можно указать точку $a$, любая окрестность которой пересекается с $A$ по несчётному множеству.

Т. е. надо доказать, что $(\forall\ \mbox{несчётного}\ A\subset \mathbb R)\ (\exists a\in A)\ \forall U(a)\ (U(a) \cap A\ \mbox{несчётно})$.
Предположим обратное: $(\exists\ \mbox{несчётное}\ A\subset \mathbb R)\ (\forall a\in A)\ \exists U(a)\ (U(a) \cap A\ \mbox{счётно})$. В этом случае берём любую точку $a_1\in A$ и её окрестность $U^{\varepsilon_1}(a_1)$, которая пересекается с $A$ по счётному множеству. Затем берём любую точку $a_2 \in A\cap U^{\varepsilon_1}(a_1)$ и её окрестность $U^{\varepsilon_2}(a_2)$ с тем же свойством. И т. д. продвигаемся в обе стороны, пока не покроем всё $A$. В каждой окрестности можно выбрать рац. точку такую, чтобы ни в одну другую окрестность она не входила. Т. к. подмножество рац. чисел не более, чем счётно, то и этих окрестностей тоже. Пересечение каждой окрестности с $A$ счётно (из предположения). А объединение не более чем счётного числа счётных множеств счётно. Но в условии дано, что $A$ несчётно. Противоречие.

[Someone]

Перемудрили.
Попробуйте, предположив, что для каждой точки $a\in A$ существует такая окрестность $Ua\subseteq\mathbb R$, что $|Ua\cap A|\leqslant\aleph_0$, перейти от этой окрестности к интервалу с рациональными концами. Подумайте, сколько таких интервалов, и какова будет мощность $A$.

[Padawan]

Такие точки называются точками конденсации $A$. Вроде каждая точка $A$ будет его точкой конденсации, за исключением счетного множества.

[caxap]

Someone в сообщении #355869 писал(а):

перейти от этой окрестности к интервалу с рациональными концами.

Возьмём внутри $U(a)$ две любые рац. точки (слева и справа от $a$). Интервалов с рац. концами не более, чем счётно ($|\mathbb Q\times \mathbb Q|= \aleph_0$). Далее, как писал:

caxap в сообщении #355862 писал(а):

Пересечение каждой окрестности с $A$ счётно (из предположения). А объединение не более чем счётного числа счётных множеств счётно. Но в условии дано, что $A$ несчётно. Противоречие.

Так?

[Someone]

Только замените "окрестность" на тот интервал с рациональными концами, который Вы выбрали. Интервалы тоже покрывают множество $A$.

[caxap]

А в остальном правильно?

[Someone]

Что уж Вы себе до такой степени не доверяете...

[caxap]

Мало опыта, часто делаю ошибки, которые сам не вижу.
Спасибо за помощь.