Как связаны математика и логика?

[epros]

Niclax в сообщении #355262 писал(а):

epros в сообщении #355029 писал(а):

Niclax в сообщении #354803 писал(а):

Формальный подход
Математика представляет собой типичную теорию со своими знаками, схемами, аксиомами и т.п.

Скорее, формализацию теорий. Ибо теории в широком смысле могут пониматься и неформально.

Я, наверно, не слишком правильно выразился, ведь формальная математика - это тоже математика. Перефразирую:
Теория множеств представляет собой типичную математическую теорию.

Ваша фраза начиналась с того, что собой представляет математика. Я уточнил, что математика занимается формализацией. Ибо во многих науках существуют слабо формализованные теории, но именно когда возникает потребность в более глубокой формализации, привлекается математика.

Что касается теории множеств, то это отнюдь не вся математика. Кроме того, у меня есть сильные сомнения относительно того, что для существенной части математики она вообще нужна.

Niclax в сообщении #354803 писал(а):

epros в сообщении #355029 писал(а):

Niclax в сообщении #354803 писал(а):

Понятия множества как такого нет.

Ничто не мешает ввести. Другой вопрос: зачем?

Для облегчения интуитивной интерпретации.

Не вижу никакого облегчения. Теория множеств построена таким образом, чтобы определять множества через свойства объектов. В частности, т.н. "наивная теория множеств" начиналась именно с декларации, что всякое свойство определяет множество объектов. Но свойства в языке той или иной логики (например, в исчислении предикатов первого порядка) уже определены - соответствующими формулами языка. Переобзывание их "множествами" с моей точки зрения ничего особо ценного (кроме возможности плодить парадоксы) не порождает.

Например, свойство натурального числа $n$ "являться чётным", которое записывается простой формулой арифметики: $\exists i [i \cdot S(S(0)) = n]$, порождает понятие "множества чётных чисел". Что особо ценного заключается в добавлении слова "множество"?

Вся ценность заключается не в магическом слове, а в силе соответствующей аксиоматики, например - ZFC. Но возьмите более слабую аксиоматику, определяющую понятие множества, и всё "богатство математических выводов" рассеется как дым. Например, если взять в качестве аксиоматики теории множеств GST, то в такой теории невозможно даже доказать, что существует модель арифметики.

Niclax в сообщении #355262 писал(а):

epros в сообщении #355029 писал(а):

Например, записываем в теории константы К и С, представляя при этом кошку и собаку. Однако последние, с моей точки зрения, уже за рамками собственно математики.

Не понял, что Вы хотели этим сказать.

Что кошка и собака за пределами математики? Так, по-моему, это очевидно. Математика занимается абстрактными формализмами, а не конкретными кошками и собаками.

Niclax в сообщении #355262 писал(а):

Множество - абстрактный объект, а множество предметов - физический.

Множество предметов - тоже абстрактный объект, до тех пор, пока не сказано, о каких конкретно предметах идёт речь. И не имеет значения являются ли эти предметы "физическими", "биологическими" или какими-то иными.

[Rasool]

Вопрос действительно философский. Что возникло раньше: курица или яйцо?

[Niclax]

epros в сообщении #355355 писал(а):

Что касается теории множеств, то это отнюдь не вся математика. Кроме того, у меня есть сильные сомнения относительно того, что для существенной части математики она вообще нужна.

Разумеется, теория множеств - не вся математика, это лишь фундамент, лучше которого пока ничего не придумали.

epros в сообщении #355355 писал(а):

Niclax в сообщении #354803 писал(а):

Для облегчения интуитивной интерпретации.

Не вижу никакого облегчения. Теория множеств построена таким образом, чтобы определять множества через свойства объектов. В частности, т.н. "наивная теория множеств" начиналась именно с декларации, что всякое свойство определяет множество объектов. Но свойства в языке той или иной логики (например, в исчислении предикатов первого порядка) уже определены - соответствующими формулами языка. Переобзывание их "множествами" с моей точки зрения ничего особо ценного (кроме возможности плодить парадоксы) не порождает.

Как Вы, не используя понятие множества, будете определять различные геометрические и алгебраические объекты?

epros в сообщении #355355 писал(а):

Niclax в сообщении #355262 писал(а):

epros в сообщении #355029 писал(а):

Например, записываем в теории константы К и С, представляя при этом кошку и собаку. Однако последние, с моей точки зрения, уже за рамками собственно математики.

Не понял, что Вы хотели этим сказать.

Что кошка и собака за пределами математики? Так, по-моему, это очевидно. Математика занимается абстрактными формализмами, а не конкретными кошками и собаками.

Записывая $\gamma$, я представляю при этом кривую - вполне математический объект.

epros в сообщении #355355 писал(а):

Niclax в сообщении #355262 писал(а):

Множество - абстрактный объект, а множество предметов - физический.

Множество предметов - тоже абстрактный объект, до тех пор, пока не сказано, о каких конкретно предметах идёт речь. И не имеет значения являются ли эти предметы "физическими", "биологическими" или какими-то иными.

Я подразумевал под множеством предметов физический объект. Например, множество предметов в моей комнате.

[BoBuk]

AD в сообщении #353695 писал(а):

Чтобы создать теорию множеств, от всей математической логики нужен всего один маленький раздел - языки предикатов первого порядка. Этот раздел логики излагается "из ничего", то есть с точки зрения еще не существующей математики - "неформально"; в то же время оказывается, что он, тем не менее, описан "очень" формально - настолько формально, что его можно даже объяснить компьютерам! Ну то есть делать компьютерную проверку доказательств. Такой уровень строгости изложения всех устраивает.

Далее уже на этом фундаменте строим теорию множеств и всю математику, а также маленький подраздельчик математики - всю остальную логику. Конечно, можно считать, что она тоже фундаментальна, но если математика достаточно хороша, чтобы ее изложить, то почему бы и нет?

Нравится такой вариант?

Вот насчёт компьютерной проверки доказательств, это очень нравится.
Но есть протестующие.
Может я неправильно понял?

[epros]

Niclax в сообщении #355828 писал(а):

это лишь фундамент, лучше которого пока ничего не придумали.

Выше я изложил свою точку зрения (см. про "магическое слово"). Если Вы считаете, что употребление магического слова добавляет какую-то новую ценность... Что ж, мне добавить нечего.

Niclax в сообщении #355828 писал(а):

Как Вы, не используя понятие множества, будете определять различные геометрические и алгебраические объекты?

Точно так же, как они определяются сейчас - формулами тех или иных теорий.

Niclax в сообщении #355828 писал(а):

Записывая $\gamma$, я представляю при этом кривую - вполне математический объект.

Мне трудно судить, что именно Вы представляете и что такое по Вашему мнению "математический объект". Могу только предположить, что представляя "реальную" кривую, Вы можете вообразить карандашную линию на бумаге (например). Но с моей точки зрения "математический объект" появляется тогда, когда есть определяющая его теория (в широком смысле - совокупность представлений о свойствах соответствующих объектов).

Niclax в сообщении #355828 писал(а):

Я подразумевал под множеством предметов физический объект. Например, множество предметов в моей комнате.

Я понимаю, что с Вашей точки зрения это что-то конкретное. Но для меня, увы, "множество предметов в Вашей комнате" - самая настоящая абстракция, ибо я об обстановке Вашей комнаты не имею ни малейшего понятия.

[Апис]

В начале, небольшое вступление. Мы размышляем (мыслим) образами. Образ это идеальное отражение мира в нашем сознании. Образ не обязательно зрительный. Изменённое сознание не рассматриваем. Под словом мир я подразумеваю мир объектов, то, что доступно нашим чувствам. Мышление. Движение, череда образов связанных между собой логикой, взаимодействием, интуицией и тому подобное. Мысль это образ, всплывающий из нашего подсознания и нельзя придумать образ, которого нет в нашем мире. Можно только создать мысленно новую, неизвестную комбинацию из известных образов, да и то комбинация должна быть естественной, иначе получится химера. Из этого утверждения, кстати, никем не оспоренного, можно вывести ещё одно, не может всплыть из глубин подсознания образ, который когда-то не был отражением нашего мира. Значит, развитие человека ограничено, и больших результатов ожидать не приходится. Мы в этом мире обречены, создавать неизвестные комбинации из известных образов. И этот процесс назвать творчеством можно, но с поправками.
Разорвать этот круг попытались математики.
Созданы направления логика и теория множеств, в которых рассматриваются только чистые взаимодействия. Полностью абстрагировавшись от мира объектов. Объектов нет. Вместо них неопределённость. Например, в теории множеств. Изначальное определение множества многовариантно, но общее у них одно, элементы множества не определены не по количеству, не по свойствам, не по взаимодействию. Имеем полную неопределённость по элементам множества. Они есть и всё.. В логике объекты исключены, есть только взаимодействия.
Наш мир, мир объектов потерпел крах, его исключили как слабое, мешающее, ненужное звено. Но не тут-то было. Мы почему-то не желаем отпускать логику и теорию множеств, в свободное плавание и раз за разом, упрямо, стараемся связать воедино, в общее, логику и теорию множеств, и наш мир объектов. Здесь я не буду приводить примеров, мои оппоненты приведут их, опровергая вышесказанное утверждение по определению множества. Очень показательна на этот счёт тема «Как связаны математика и логика?» автор (Niclax) на форуме dxdy. Приведу выборку нескольких цитат:

Цитата:

(Niclax) Тревожит такой вопрос: Как связаны математика и логика? С одной стороны, логику можно рассматривать как метаматематику: когда формулируется теория множеств - основа всей математики - , используются такие понятия как различные типы высказываний (аксиомы, теоремы), логические операции и определение. С другой же стороны есть такая штука, как математическая логика, где некоторые понятия "обычной" логики определены формальным путем, базируясь на этой самой теории множеств (высказывание - элемент некой алгебры, логические операции - функции над элементами этой алгебры). И получается какая-то путаница.
Модератор - Чтобы создать теорию множеств, от всей математической логики нужен всего один маленький раздел - языки предикатов первого порядка. Этот раздел логики излагается "из ничего", то есть с точки зрения еще не существующей математики - "неформально"; в то же время оказывается, что он, тем не менее, описан "очень" формально - настолько формально, что его можно даже объяснить компьютерам! Ну то есть делать компьютерную проверку доказательств. Такой уровень строгости изложения всех устраивает. Далее уже на этом фундаменте строим теорию множеств и всю математику, а также маленький подраздельчик математики - всю остальную логику. Конечно, можно считать, что она тоже фундаментальна, но если математика достаточно хороша, чтобы ее изложить, то почему бы и нет?
(Niclax) Если я Вас правильно понял, то структура такова: Логика Теория множеств Математика Математическая логика, то есть теория множеств и, как следствие, вся математика - это всего лишь разделы логики, которые оной, по сути, не нужны, а вся строгость математики есть не что иное как логический формализм?
vek88 - Вряд ли можно кратко и однозначно ответить на вопрос в заголовке темы. Ведь сама математика строилась в определенной степени хаотично. Построено сложное и огромное здание. И сказать вполне формально и однозначно о связи математики и логики вряд ли возможно.
Niclax -Формальный подход
Математика представляет собой типичную теорию со своими знаками, схемами, аксиомами и т.п. Понятия множества как такого нет. Преимуществом такого подхода является высокий уровень строгости
Наивный подход
Основой являются мысленные образы. В частности, множество представляется как совокупность каких-либо предметов. Недостаточный уровень строгости данного подхода приводит к различным парадоксам.
Хотелось бы услышать чужое мнение по этому поводу.
Epros - Это мне непонятно. "Мысленные образы" - это нечто, не имеющее чёткого определения. Понятно, что записывая некие формальные высказывания, мы держим в голове некие "мысленные образы". Например, записываем в теории константы К и С, представляя при этом кошку и собаку. Однако последние, с моей точки зрения, уже за рамками собственно математики.
vek88 - Дык я перед этим и написал про множественность и неоднозначность ответов.
epros в сообщении #355029 писал(а):
Это мне непонятно. "Мысленные образы" - это нечто, не имеющее чёткого определения.
Это Вы по поводу определения Георга Кантора: "Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления" (см. Множество в Википедии)?
vek88 - Масло масляное...
Это Вы по поводу определения Бертрана Рассела: «Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое» (см. Множество в Википедии)? Но ведь именно так, как правило, определяют множество в наивной теории множеств.
vek88 в сообщении #355034 писал(а):
Дык я перед этим и написал про множественность и неоднозначность ответов.
Epros - В этом вся и проблема. Если я написал статью про паровоз, а Вы прочитали её как статью про велосипед, то сие не есть хорошо. Весь смысл математической формализации заключается в том, чтобы исключить возможные неоднозначности в понимании излагаемых вопросов (иногда довольно сложных). Увы, похоже, что это неосуществимо... В понимании даже банальнейших и достаточно строго формализованных понятий могут обнаружиться расхождения. Например, я говорю о натуральных числах и мне кажется, что предмет обсуждения однозначно определён. А потом вдруг через неделю узнаю, что собеседник, оказывается, имел в виду т.н. "нестандартные" числа...
Кантор, как известно, формализацией понятия множества не занимался. И даже труд свой на эту тему назвал не "теорией", а "учением" о множествах.
Насколько я знаю, в т.н. "наивной теории множеств" множество определяется как объект, содержащий в себе все объекты, обладающие определённым свойством (и только их).
Что касается "совокупности", то это слово обычно рассматривается как синоним понятия "множества". Впрочем, можно понимать и иначе. Например, можно называть "совокупностями" только такие множества, которые определены посредством перечисления всех входящих в них объектов. При таком определении они уже не будут синонимами.
(Niclax) - Не совсем. Множество - абстрактный объект, а множество предметов - физический.
Epros - Множество предметов - тоже абстрактный объект, до тех пор, пока не сказано, о каких конкретно предметах идёт речь. И не имеет значения являются ли эти предметы "физическими", "биологическими" или какими-то иными.
Rasool - Вопрос действительно философский. Что возникло раньше: курица или яйцо?

На этом закончено цитирование
Вопрос: Почему мы упорно стараемся, найти общее обобщение? Почему стараемся одновременно объяснить сущность и яйца и курицы. Может оставить каждому своё. Оставить логике, теории множеств и иже с ним - чистые правила, а остальным математикам многообразие мира объектов. И в частной проблеме теории чисел, действительные числа если не являются математическим объектом("математический объект" появляется тогда, когда есть определяющая его теория (в широком смысле - совокупность представлений о свойствах соответствующих объектов) а просто остаются действительными числами, то проблема от этого только выиграет.
В заключение хочу привести цитату из дневника А.В. Дружинина, литератора девятнадцатого века. (В тему цитата)
5 августа четверг 1854 год Сочинение Кюстина о России, с рецензией на него Греча (Имеются в виду книга А. де Кюстина «La Russie tn 1839» путанная по воззрениям, но раскрывающая некоторые типичные стороны русской жизни, особенно в высшем свете, и полемический ответ Н. И. Греча, инспирированный III отделением. «О произведении «Россия в 1839 г» маркиза де Кюстина» ответ был переведён на французский и немецкий языки и издан в Париже в 1844 г.) Эта рецензия не так подла, как заставляет предположить имя Греча, моего бывшего наставника в русской словесности. Греч исполнил своё дело не вполне, но деликатно, и с меткостью указал на главниый промах Кюстина, т. е. излишнюю страсть к Обобщениям(generalisation) погубившую многих писателей более даровитых и создавших целую когорту авторов-чудовищ, в роде Кине, Мишле и Леру. … А я думаю, что для умного и любящего своё отечество русского это сочинение может быть полезным, ибо автор иногда зорок посреди слепоты и рассказом нелепости родит мысль дельную. Конец цитаты.
Посмотрите, даже в литературе в позапрошлом веке уже было скептическое отношение к страсти к обобщениям. Маленькая проблема из теории чисел, для меня более значима, чем страсть, большое намерение, обобщить, а тем паче построить теорию всё объясняющую. Но и я был не чужд этой страсти.