Как связаны математика и логика?

[Niclax]

Добрый день!
Тревожит такой вопрос: Как связаны математика и логика?
С одной стороны, логику можно рассматривать как метаматематику: когда формулируется теория множеств - основа всей математики - , используются такие понятия как различные типы высказываний (аксиомы, теоремы), логические операции и определение. С другой же стороны есть такая штука, как математическая логика, где некоторые понятия "обычной" логики определены формальным путем, базируясь на этой самой теории множеств (высказывание - элемент некой алгебры, логические операции - функции над элементами этой алгебры). И получается какая-то путаница. Возникает вопрос: зачем определять то, что уже выступило первичным неопределяемым понятием, но в тоже время возникает и ответ: так ведь такого понятия в математике не существует, ибо формально первичными считаются только множество и отношение принадлежности. И это как-то не укладывается у меня в голове. Извиняюсь за сумбур и безграмотность. Буду весьма благодарен за популярное разъяснение.

[AD]

Чтобы создать теорию множеств, от всей математической логики нужен всего один маленький раздел - языки предикатов первого порядка. Этот раздел логики излагается "из ничего", то есть с точки зрения еще не существующей математики - "неформально"; в то же время оказывается, что он, тем не менее, описан "очень" формально - настолько формально, что его можно даже объяснить компьютерам! Ну то есть делать компьютерную проверку доказательств. Такой уровень строгости изложения всех устраивает.

Далее уже на этом фундаменте строим теорию множеств и всю математику, а также маленький подраздельчик математики - всю остальную логику. Конечно, можно считать, что она тоже фундаментальна, но если математика достаточно хороша, чтобы ее изложить, то почему бы и нет?

Нравится такой вариант?

[Niclax]

AD в сообщении #353695 писал(а):

Чтобы создать теорию множеств, от всей математической логики нужен всего один маленький раздел - языки предикатов первого порядка. Этот раздел логики излагается "из ничего", то есть с точки зрения еще не существующей математики - "неформально"; в то же время оказывается, что он, тем не менее, описан "очень" формально - настолько формально, что его можно даже объяснить компьютерам! Ну то есть делать компьютерную проверку доказательств. Такой уровень строгости изложения всех устраивает.

Далее уже на этом фундаменте строим теорию множеств и всю математику, а также маленький подраздельчик математики - всю остальную логику. Конечно, можно считать, что она тоже фундаментальна, но если математика достаточно хороша, чтобы ее изложить, то почему бы и нет?

Нравится такой вариант?

Спасибо за развернутый ответ. Если я Вас правильно понял, то структура такова:

Логика $\supset$ Теория множеств $\supset$ Математика $\supset$ Математическая логика,

то есть теория множеств и, как следствие, вся математика - это всего лишь разделы логики, которые оной, по сути, не нужны, а вся строгость математики есть не что иное как логический формализм?

[AD]

Niclax в сообщении #353753 писал(а):

Если я Вас правильно понял, то структура такова:

Главное, не забывайте, насколько философский это вопрос. Я не могу так вот прямо взять - и решить его. Просто меня такое объяснение убеждает.

[Niclax]

В одной лекции мне встретилось такое соотношение:

$\mathbf{S} \subset \mathbf{P} \subset \mathbf{Z} \subset \mathbf{ZF}$,

$\mathbf{S}$ - исчисление высказываний,
$\mathbf{P}$ - исчисление предикатов,
$\mathbf{Z}$ - арифметика,
$\mathbf{ZF}$ - аксиоматика Цермело-Френкеля.

По вашему, оно неверно?

[AD]

Ничего не понял.
Переношу в дискуссионные темы.

[epros]

Niclax в сообщении #353888 писал(а):

$\mathbf{S} \subset \mathbf{P} \subset \mathbf{Z} \subset \mathbf{ZF}$

Это соотношение между формальными теориями, записано оно правильно. Но не забывайте, что над всем этим витает понятие "формальной теории" - как "множества теорем", т.е. доказуемых по установленным правилам предложений формального языка. Соответственно, тавтологии исчисления предикатов включают тавтологии исчисления высказываний, теоремы арифметики (не забываем уточнить, что бывают разные арифметики) включают тавтологии исчисления предикатов, а теоремы теории множеств (Цемерло-Френкеля) включают теоремы арифметики.

Наводит на размышления тот факт, что данное утверждение, претендующее на некую фундаментальность, само по себе использует понятие "множества" (которое в первых трёх перечисленных теориях не определено). Однако ж эту трудность можно обойти небольшой переформулировкой, заменив понятие о "формальной теории" как о "множестве теорем" понятием о "формальной теории" как о "способе вывода утверждений в данном языке". Отношение "является подмножеством" в таком случае заменится отношением "следовательно" (выводимо в $\mathbf{S}$ следовательно выводимо в $\mathbf{P}$ и т.д.).

[vek88]

Вряд ли можно кратко и однозначно ответить на вопрос в заголовке темы. Ведь сама математика строилась в определенной степени хаотично. Построено сложное и огромное здание. И сказать вполне формально и однозначно о связи математики и логики вряд ли возможно.

ИМХО можно лишь проследить многочисленные связи отдельных разделов логики с отдельными разделами математики, да еще в зависимости от подхода к изложению этих разделов: например, интуитивная теория множеств, или конкретная аксиоматизация, какие формальные системы используются для аксиоматизации: финитные или нефинитные, ... . Короче, здесь можно погрязнуть.

[epros]

А я, честно говоря, вообще не понимаю вопроса: уж больно расплывчата формулировка... Во-первых, непонятно, что имеется в виду под "логикой". Если это понятие используется в широком смысле, включающем всевозможные неформализуемые "логики" (типа женской ), то оно в чём-то шире математики, ибо математика занимается только вещами, которые более или менее формализуемы. С другой стороны, математика рассматривает множество прикладных вопросов, которые никак нельзя отнести к сфере "логики". Тогда в чём, собственно, вопрос?

Может быть топикстартер на самом деле просто ищет "первичные неопределяемые понятия"? На этот счёт у меня есть мнение, что к таковым следовало бы относить понятия "символа" (соответствующего алфавита), "языка" (с соответствующими грамматиками) и "теории" (с соответствующими аксиоматикой и правилами вывода). Что касается понятия "множества", то его можно рассматривать в качестве "первичного неопределяемого", но по-моему польза от этого нулевая. Касательно же понятия о математической логике (куда можно отнести исчисление высказываний, исчисление предикатов, логики более высоких порядков, теорию типов и т.п.), то это просто некие разновидности фундаментальных теорий, т.е. некий язык плюс аксиоматика и правила вывода. Нетрудно представить себе теорию, построеную на совершенно иных принципах (не имеющих ничего общего, например, с исчислением предикатов).

[Niclax]

Благодарю всех откликнувшихся. Ваши ответы и подвернувшийся под руку томик Бурбаки навели меня на мысль о том, что причиной путаницы может выступать смешение двух противоположных подходов к математике:

Формальный подход
Математика представляет собой типичную теорию со своими знаками, схемами, аксиомами и т.п. Понятия множества как такого нет. Преимуществом такого подхода является высокий уровень строгости, о недостатках расскажет Арнольд.

и

Наивный подход
Основой являются мысленные образы. В частности, множество представляется как совокупность каких-либо предметов. Недостаточный уровень строгости данного подхода приводит к различным парадоксам.

Хотелось бы услышать чужое мнение по этому поводу.

[vek88]

Niclax

Вы опять наступаете на те же грабли: нечетко поставленный вопрос, как следствие, множественность и неоднозначность ответов.

Мой взгляд на формальный и наивный подходы, а также на парадоксы см. в теме Основания математики - элементарное рассмотрение, начиная с поста post283165.html#p283165

[epros]

vek88 в сообщении #354837 писал(а):

Мой взгляд на формальный и наивный подходы, а также на парадоксы см. в теме Основания математики - элементарное рассмотрение, начиная с поста post283165.html#p283165

Хм, бегло просмотрел тему. Переварить всё это сходу невозможно, но уже сейчас вижу, что моё понимание отличается от Вашего...

-- Ср сен 22, 2010 11:52:37 --

Niclax в сообщении #354803 писал(а):

Формальный подход
Математика представляет собой типичную теорию со своими знаками, схемами, аксиомами и т.п.

Скорее, формализацию теорий. Ибо теории в широком смысле могут пониматься и неформально.

Niclax в сообщении #354803 писал(а):

Понятия множества как такого нет.

Ничто не мешает ввести. Другой вопрос: зачем?

Niclax в сообщении #354803 писал(а):

Наивный подход
Основой являются мысленные образы.

Это мне непонятно. "Мысленные образы" - это нечто, не имеющее чёткого определения. Понятно, что записывая некие формальные высказывания, мы держим в голове некие "мысленные образы". Например, записываем в теории константы К и С, представляя при этом кошку и собаку. Однако последние, с моей точки зрения, уже за рамками собственно математики.

Niclax в сообщении #354803 писал(а):

В частности, множество представляется как совокупность каких-либо предметов.

Масло масляное...

[vek88]

epros в сообщении #355029 писал(а):

Хм, бегло просмотрел тему. Переварить всё это сходу невозможно, но уже сейчас вижу, что моё понимание отличается от Вашего...

Дык я перед этим и написал про множественность и неоднозначность ответов.

epros в сообщении #355029 писал(а):

Это мне непонятно. "Мысленные образы" - это нечто, не имеющее чёткого определения.

Это Вы по поводу определения Георга Кантора: "Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления" (см. Множество в Википедии)?

epros в сообщении #355029 писал(а):

Масло масляное...

Это Вы по поводу определения Бертрана Рассела: «Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое» (см. Множество в Википедии)? Но ведь именно так, как правило, определяют множество в наивной теории множеств.

[epros]

vek88 в сообщении #355034 писал(а):

Дык я перед этим и написал про множественность и неоднозначность ответов.

В этом вся и проблема. Если я написал статью про паровоз, а Вы прочитали её как статью про велосипед, то сие не есть хорошо. Весь смысл математической формализации заключается в том, чтобы исключить возможные неоднозначности в понимании излагаемых вопросов (иногда довольно сложных). Увы, похоже, что это неосуществимо... В понимании даже банальнейших и достаточно строго формализованных понятий могут обнаружиться расхождения. Например, я говорю о натуральных числах и мне кажется, что предмет обсуждения однозначно определён. А потом вдруг через неделю узнаю, что собеседник, оказывается, имел в виду т.н. "нестандартные" числа...

vek88 в сообщении #355034 писал(а):

Это Вы по поводу определения Георга Кантора: "Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления" (см. Множество в Википедии)?

Кантор, как известно, формализацией понятия множества не занимался. И даже труд свой на эту тему назвал не "теорией", а "учением" о множествах.

vek88 в сообщении #355034 писал(а):

epros в сообщении #355029 писал(а):

Масло масляное...

Это Вы по поводу определения Бертрана Рассела: «Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое» (см. Множество в Википедии)? Но ведь именно так, как правило, определяют множество в наивной теории множеств.

Насколько я знаю, в т.н. "наивной теории множеств" множество определяется как объект, содержащий в себе все объекты, обладающие определённым свойством (и только их).

Что касается "совокупности", то это слово обычно рассматривается как синоним понятия "множества". Впрочем, можно понимать и иначе. Например, можно называть "совокупностями" только такие множества, которые определены посредством перечисления всех входящих в них объектов. При таком определении они уже не будут синонимами.

[Niclax]

epros в сообщении #355029 писал(а):

Niclax в сообщении #354803 писал(а):

Формальный подход
Математика представляет собой типичную теорию со своими знаками, схемами, аксиомами и т.п.

Скорее, формализацию теорий. Ибо теории в широком смысле могут пониматься и неформально.

Я, наверно, не слишком правильно выразился, ведь формальная математика - это тоже математика. Перефразирую:
Теория множеств представляет собой типичную математическую теорию.

epros в сообщении #355029 писал(а):

Niclax в сообщении #354803 писал(а):

Понятия множества как такого нет.

Ничто не мешает ввести. Другой вопрос: зачем?

Для облегчения интуитивной интерпретации.

epros в сообщении #355029 писал(а):

Niclax в сообщении #354803 писал(а):

Наивный подход
Основой являются мысленные образы.

Это мне непонятно. "Мысленные образы" - это нечто, не имеющее чёткого определения. Понятно, что записывая некие формальные высказывания, мы держим в голове некие "мысленные образы". Например, записываем в теории константы К и С, представляя при этом кошку и собаку. Однако последние, с моей точки зрения, уже за рамками собственно математики.

Не понял, что Вы хотели этим сказать.

epros в сообщении #355029 писал(а):

Niclax в сообщении #354803 писал(а):

В частности, множество представляется как совокупность каких-либо предметов.

Масло масляное...

Не совсем. Множество - абстрактный объект, а множество предметов - физический.