Равноускоренное движение в гравитационном поле

[epros]

Александр Т. в сообщении #355304 писал(а):

Не получается $x' = x_0$ при такой замене координат. А вот при такой
\begin{align*} ct &= x' \sh{\frac{ct'}{x_0}} \\ x &= x' \ch{\frac{ct'}{x_0}} \end{align*}
получается (при условии, что $x_0>0$).

Да, штрихи не там расставил. Спасибо. Сейчас исправлю.

-- Чт сен 23, 2010 11:12:35 --

Утундрий в сообщении #355169 писал(а):

epros
Многократно пережеванная тема.
Берем из http://ufn.ru/ufn69/ufn69_7/Russian/r697f.pdf поле, составляем из поля ТЭИ, делаем преобразование к координатам Мёллера...

Да, я знаю... Но раз уж зашёл разговор о таких вещах, то, наверное, нужно было к этой теме вернуться.

[epros]

Утундрий,
а давайте я Вам задам каверзный вопрос (по этой задаче), а Вы, глядючи в эту статью Гинзбурга или куда-нибудь ещё, попробуете на него ответить?

Вопрос таков: Проведём в координатах Мёллера (они у нас со штрихом) сферу некоторого разумного радиуса с центром там, где заряд. В четырёхмерии она будет выглядеть как трубка вокруг мировой линии заряда. В трёхмерии $t' = const$ это обычная сфера. Поскольку трёхмерие $t = 0$ (в координатах лабораторной ИСО) совпадает с трёхмерием $t' = 0$ в кординатах Мёллера, здесь это будет такая же сфера (при других значениях $t$ это будет уже не совсем сфера). Вроде бы мы знаем, что поток электромагнитной энергии-импульса через эту сферу в лабораторной ИСО отличен от нуля (ибо заряд движется ускоренно, а стало быть излучение уходит в бесконечность). Возвращаемся опять в координаты Мёллера и смотрим, чему равен поток электромагнитной энергии-импульса через эту сферу в момент $t' = 0$. Отмечаем три факта:
1) Тензор энергии-импульса на гиперповерхности $t' = 0$ при преобразовании координат вроде бы не меняет своего вида, ибо формула преобразования зависит только от первых производных одних координат по другим, а соответствующие производные на данной гиперповерхности аккуратно составляют единичную матрицу (почти).
2) Поскольку и сама сфера совпадает с тем, что имеется в лабораторной ИСО, значит и поток энергии-импульса через неё в момент $t' = 0$ совпадает с тем потоком энергии-импульса, который был рассчитан для лабораторной ИСО в момент $t = 0$.
3) А поскольку в координатах Мёллера задача является статической, этот же поток энергии-импульса будет иметь место и в любой другой момент $t'$.

Так будет ли излучать заряд, неподвижный в системе со статическим гравитационным полем?

[Утундрий]

Опять считать...

epros
Последний раз я на эту тему натыкался у Биррела и Дэвиса в их книге "Квантованные поля в искривленном пространстве-времени". Там красиво, там про кванты... Преобразования Боголюбова всякие, регистрация частиц невзирая на вакуум... И случай координат Мёллера подробно рассмотрен. Не читали? Если не читали, то советую. А то вся эта классика...

[epros]

Утундрий в сообщении #355403 писал(а):

Опять считать...

Не, считать ничего не нужно, достаточно качественных соображений. Подсказка: нужно критически рассмотреть п. 1).

[Утундрий]

Предпочитаю считать, тогда труднее ошибиться. В любом случае, мне понадобится время на вникновение в эту основательно подзабытую и не столь интересную тему. Причем вникать я буду не в ущерб тому, что меня сейчас действительно интересует. Так что увы, быстрого ответа не ждите.

(Оффтоп)

Можете даже засчитать сказанное как "слив"

[epros]

Эх, ну ладно, тогда я уж отвечу... Тут вся фишка в том, что одна из производных как раз не совсем равна единице. А именно, $\frac{\partial t}{\partial t'} = \frac{x}{x_0}$. Так что в левом полусферии она чуть меньше единицы, а в правом - чуть больше. Этот факт трудноуловим с позиций нерелятивисткого мышления, которое приучило нас к тому, что равноускоренные СО однородны, т.е. чуть левее или чуть правее - без разницы. А разница, оказывается, есть, и она заключается в том, что в СО Мёллера слева (где гравитационный потенциал поменьше) время течёт чуть медленнее, чем справа (где гравитационный потенциал побольше). По этой причине поток электромагнитной энергии, который в СО Мёллера сбалансирован (т.е. в среднем энергия из сферы не уходит), в лабораторной ИСО оказывается несбалансированным.

[Александр Т.]

epros в сообщении #355119 писал(а):

А вот давайте рассмотрим такую - вполне "подъёмную" - задачку: Имеем пространство Минковского. Имеем заряд, движущийся ускоренно относительно лабораторной ИСО по закону:
$x = \sqrt{(x_0)^2 + (ct)^2}$

Вы, похоже, выбрали не ту сигнатуру (+---), которая используется в книге "Ландау, Лифшиц. Теория поля", поэтому я не сразу узнал здесь релятивистски равноускоренное движение.

Цитата:

Очевидно, что заряд излучает,

Ну, вообще-то, Борн и Паули с этим бы не согласились (см. ссылку, которую дал Padawan Паули В. Теория относительности 1991, стр. 131-132). Вы могли бы показать, в каком месте на этих двух страницах (131 и 132) допущена ошибка?

Цитата:

тензор энергии-импульса излучения можно посчитать.

А Вы это делали? Если — да, то Вас не затруднит выписать для него полученное выражение? (В статье Гинзбурга выписана лишь мощность излучения, причем там используется сигнатура (+---))

Цитата:

Теперь выполняем замену координат:
$ct = x' \cdot \sh{\frac{ct'}{x_0}}$
$x = x' \cdot \ch{\frac{ct'}{x_0}}$
Нетрудно убедиться, что штрихованные координаты (это т.н. координаты Мёллера) описывают статическую равноускоренную СО, в которой действует постоянное тяготение (в точке нахождения заряда его величина равна $\frac{c^2}{x_0}$). В этой СО уравнение движения заряда таково:
$x' = x_0$, т.е. заряд неподвижен ("покоится в стационарном гравитационном поле").

Вопрос: Во что преобразуется тензор энергии-импульса электромагнитного поля?

Тензор энергии-импульса, как и любой другой тензор при любом преобразовании координат преобразуется сам в себя

$$ \hat{T} = T^{ij} \vec{e}_i \vec{e}_j = T'^{ij} \vec{e}_i' \vec{e}_j' $$

(здесь $\vec{a}\vec{b}$ обозначает диадное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$). Исходя из этого, находят закон преобразования для компонент тензора (во всяком случае, в неискривленных пространствах).

Цитата:

Будет ли данный заряд излучать?

В статье Гинзбурга утверждается, что не будет (см. таблицу на стр. 579). Но сам я вычисления не проводил.

[Утундрий]

Кстати, у ЛЛ (т.2 гл. "Торможение излучением") приведено "паразитное" равноускоренное решение. Суть же, - как они утверждают, и в этом я склонен им верить - во внутренней противоречивости электродинамики. Вот Гинзбург и постарался выжать из этого ненормального случая максимальное физическое содержание. По моему мнению, пока собственная энергия электрона будет получаться бесконечной, ковыряться тут бестолку. Ну противоречие, ну знаем, дальше-то что? Адекватной замены данной теории пока что нетути...

[epros]

Александр Т. в сообщении #355438 писал(а):

Вы, похоже, выбрали не ту сигнатуру (+---), которая используется в книге "Ландау, Лифшиц. Теория поля", поэтому я не сразу узнал здесь релятивистски равноускоренное движение.

Сигнатура метрики без разницы. Это формулы преобразования координат, они к метрике не привязаны.

Александр Т. в сообщении #355438 писал(а):

Цитата:

Очевидно, что заряд излучает,

Ну, вообще-то, Борн и Паули с этим бы не согласились (см. ссылку, которую дал Padawan Паули В. Теория относительности 1991, стр. 131-132). Вы могли бы показать, в каком месте на этих двух страницах (131 и 132) допущена ошибка?

Напоминаю, что речь была об излучении равноускоренно движущегося заряда, рассматриваемого в ИСО. Об этом в процитированной Утундрием статье Гинзбурга сказано в разделе I (стр. 572 сверху, сразу после мелкого шрифта).

Александр Т. в сообщении #355438 писал(а):

Тензор энергии-импульса, как и любой другой тензор при любом преобразовании координат преобразуется сам в себя

Разумеется, я нигде не утверждаю, что он преобразуется во что-то другое. Но потоки энергии и импульса могут оказаться другими.

Александр Т. в сообщении #355438 писал(а):

Исходя из этого, находят закон преобразования для компонент тензора (во всяком случае, в неискривленных пространствах).

Истинные тензоры (к каковым относится и ТЭИ электромагнитного поля) в искривлённых координатах (и пространствах) преобразуются так же.

-- Чт сен 23, 2010 17:17:57 --

Утундрий в сообщении #355459 писал(а):

По моему мнению, пока собственная энергия электрона будет получаться бесконечной, ковыряться тут бестолку. Ну противоречие, ну знаем, дальше-то что?

Вряд ли расходимости, связанные с точечностью заряда, имеют отношение к излучению ускоренного заряда. По-моему, в этой задаче никаких особых парадоксов не вылазит.

Более интересные случаи вроде бы получаются при рассмотрении квантовой задачи. Там вылазит очень забавная разница между ускоренной СО и ИСО с гравитационным полем: если в первой "всё спокойно", никаких излучений нет, то во второй возникает известный эффект излучения Хокинга. "Ага", - воскликнут критики Эйнштейна - "вот оно, зримое нарушение принципа эквивалентности".

[Александр Т.]

epros в сообщении #355461 писал(а):

Александр Т. в сообщении #355438 писал(а):

Цитата:

Очевидно, что заряд излучает,

Ну, вообще-то, Борн и Паули с этим бы не согласились (см. ссылку, которую дал Padawan Паули В. Теория относительности 1991, стр. 131-132). Вы могли бы показать, в каком месте на этих двух страницах (131 и 132) допущена ошибка?

Напоминаю, что речь была об излучении равноускоренно движущегося заряда, рассматриваемого в ИСО.

Ваше напоминание лишь усугубило мои воспоминания. Я все время думал, что формулы (250) в вышеупомянутой книге Паули дают выражения для напряженностей электрического и магнитного полей именно в инерциальной системе отсчета. Сейчас еще раз просмотрел эти страницы и остался при таком же мнении. Вы утверждаете, что в (250) даны напряженности в ускоренной системе отсчета?

Цитата:

Об этом в процитированной Утундрием статье Гинзбурга сказано в разделе I (стр. 572 сверху, сразу после мелкого шрифта).

Ну да. А в разделе II утверждается, что решение, найденное Борном (т.е., как я понял, речь идет о формулах в (250)) и "интерпретация этого решения в книге Паули" (т.е., как я понял, речь идет как раз об этих двух страницах 131 и 132) являются "неясными моментами". Там утверждается, что это решение "оказывается пригодным не при всех значениях $z$ и $t$", и за подробностями отсылают к статье Фултона и Рорлиха. Вот я и подумал, что Вам может быть уже известно, где конкретно на стр. 131–132 книги Паули допущена ошибка (на которую намекается в разделе II статьи Гинзбурга).

[epros]

Александр Т. в сообщении #355581 писал(а):

epros в сообщении #355461 писал(а):

Напоминаю, что речь была об излучении равноускоренно движущегося заряда, рассматриваемого в ИСО.

Вы утверждаете, что в (250) даны напряженности в ускоренной системе отсчета?

Я говорил об ускоренном движении заряда в ИСО.

[Александр Т.]

epros в сообщении #355600 писал(а):

Александр Т. в сообщении #355581 писал(а):

epros в сообщении #355461 писал(а):

Напоминаю, что речь была об излучении равноускоренно движущегося заряда, рассматриваемого в ИСО.

Вы утверждаете, что в (250) даны напряженности в ускоренной системе отсчета?

Я говорил об ускоренном движении заряда в ИСО.

То, что Вы (а не Паули на стр. 131-132 своей книги) говорите о релятивистски равномерно ускоренном движении заряда в ИСО, я понял. Но говоря об этом в сообщении #355119, Вы утверждаете

Цитата:

Очевидно, что заряд излучает

А из формул (250) книги"Паули В. Теория относительности" следует, что излучения нет.

Значит, если Вы настаиваете, что Ваше утверждение верно, Вы должны считать, что либо в выводе формул (250) допущена ошибка (тогда где она), либо что эти формулы относятся не к релятивистски равномерно ускоренному движению заряда в ИСО (тогда к чему). Я осознаю, что ответ на соответствующий вопрос в скобках Вы можете и не знать. Но Вы позиционировали себя как человека, хорошо осведомленного об этой "многократно пережеванной теме". Поэтому я и решился эти вопросы задать (жаль тратить время на то, чтобы самому с ними разбираться, когда вся эта тема так "пережевана").

[epros]

Александр Т. в сообщении #355644 писал(а):

А из формул (250) книги"Паули В. Теория относительности" следует, что излучения нет.

У меня нет сейчас возможности залезть в книгу Паули, но я указал Вам место в статье Гинзбурга, на которую ссылался Утундрий, где об этом написано.

[m_еugene]

Всё поставлено с ног на голову.
.
При падении заряда в центр гравитации заряд не испытывает ускорения - стало быть, и излучения нет.
Он не ускоряется относительно окружающего его пространства, которое само падает к центру.
.
Другое дело, что наблюдатель неподвижен относительно центра и сам ускорен - в том числе и относительно падающего заряда,

и Вы это ускорение ощущаете прямо сейчас, не правда ли?
.
Так и не нужно удивляться, что падающий заряд не излучает.
.
Это - прямое следствие принципа эквивалентности Эйнштейна.
Ничего личного.
.

Парджеттер:

Строгое замечание за оффтопик и распространение лженауки в учебном разделе.

[Padawan]

Он будет излучать, но только из-за неоднородности поля. А в стартовом сообщении справшивалось про предельный случай однородного поля.