Плотность множества в точке

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #352746 писал(а):

"ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пусть $A$ и $B$ -- подмножества топологического пространства $X$; $A$ называется плотным в $B$, если замыкание $A$ содержит $B$ (...), т. е. если каждая точка из $B$ является точкой прикосновения для $A$."
Р. А. Александрян Э. А. Мирзаханян "Общая топология". Стр. 44-45.

По определению Александряна и Мирзаханяна множество $A$ плотно в подмножестве $B$ тогда и только тогда, когда $B$ подмножество замыкания $A$. А это значит, что понятие "подмножество замыкания $A$" и понятие "подмножество в котором $A$ плотно" идентичны. Что в свою очередь означает, что одно из них лишнее. Вряд ли, кто-нибудь думает, что лишним является понятие замыкания множества.

[terminator-II]

Ничего не понял, что Вы хотите сказать. Плотность определяется через подмножество замыкания. Один термин определяется через другие ранее известные. Как что-то может быть лишним?

[Виктор Викторов]

Множества в которых множество $A$ плотно находятся во взаимно однозначном соответствии с подмножествами замыкания $A$.
Сказать "множество $A$ плотно в $B$" одно и тоже, что сказать "множество $B$ -- подмножество замыкания $A$".
Например,
"(б) Точка $s$ принадлежит замыканию подмножества $A$ пространства $X$ в том и только в том случае, когда в $A$ есть направленность, сходящаяся к $s$."
Джон Л. Келли "общая топология" издание второе страница 97
можно заменить на
"Подмножество $A$ плотно в точке $s$ пространства $X$ в том и только в том случае, когда в $A$ есть направленность, сходящаяся к $s$."
Фразы "множество $A$ плотно в $B$" и "множество $B$ подмножество замыкания $A$" взаимо заменяемы.

[terminator-II]

Виктор Викторов в сообщении #355017 писал(а):

Фразы "множество $A$ плотно в $B$" и "множество $B$ подмножество замыкания $A$" взаимо заменяемы.

Вообще-то нет.

Виктор Викторов в сообщении #355017 писал(а):

"множество $A$ плотно в $B$"

означает, что
1) $A\subseteq B$
2) $B\subseteq \overline{A}$

[Виктор Викторов]

Мои успехи в теге позволили мне заменить точки в цитате формулой:

"ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пусть $A$ и $B$ -- подмножества топологического пространства $X$; $A$ называется плотным в $B$, если замыкание $A$ содержит $B$ ($\overline{A}\supset B), т. е. если каждая точка из $B$ является точкой прикосновения для $A$." Р. А. Александрян Э. А. Мирзаханян "Общая топология". Стр. 44-45.

Поэтому

terminator-II в сообщении #355292 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #355017 писал(а):

"множество $A$ плотно в $B$"

означает, что $B\subset \overline{A}$, но, конечно, равенство подразумевается тоже. Иначе не получится всюду плотность.
И

terminator-II в сообщении #355292 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #355017 писал(а):

"множество $B$ подмножество замыкания $A$"

означает, что $B\subseteq \overline{A}$.

[alex1910]

Виктор Викторов в сообщении #352746 писал(а):

"ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пусть $A$ и $B$ -- подмножества топологического пространства $X$; $A$ называется плотным в $B$, если замыкание $A$ содержит $B$ (...), т. е. если каждая точка из $B$ является точкой прикосновения для $A$."
Р. А. Александрян Э. А. Мирзаханян "Общая топология". Стр. 44-45.

По этому определению множество натуральных чисел (которое, как известно, нигде не плотно) плотно в каждой своей точке. Правда, оба этих факта не противоречат друг другу (множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда открытое ядро его замыкания пусто), но мне такое определение плотности одного множества в другом кажется мало высоко художественным как говорил Зощенко.

Откровенно говоря, я пользуюсь своим определением плотности.

Определение. Множество $A$ топологического пространства $X$ называется плотным в точке $j$ топологического пространства $X$ тогда и только тогда, когда открытое ядро замыкания множества $A$ содержит точку $j$.

По этому определению множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда оно не плотно ни в одной точке пространства и всюду плотно тогда и только тогда, когда оно плотно в каждой точке пространства. Также становится ясным, что плотность в точке это своего рода "бытие внутренней точкой второй свежести". Если точка внутренняя точка множества, то она и внутренняя и в замыкании множества (и в ней, конечно, множество плотно), но может быть и ухудшенный вариант: точка не является внутренней точкой множества (и даже может ему не принадлежать), но является внутренней точкой его замыкания и тогда множество в ней плотно.

(Оффтоп)

Кто-нибудь знает как набирать в ТЕГе черточку над буквой?

Торможу наверное... А что такое - открытое ядро?

[Виктор Викторов]

alex1910 в сообщении #355347 писал(а):

А что такое - открытое ядро?

Открытое ядро множества $A$ или внутренность множества $A$ -- множество всех внутренних точек множества $A$.

[alex1910]

Виктор Викторов в сообщении #355351 писал(а):

alex1910 в сообщении #355347 писал(а):

А что такое - открытое ядро?

Открытое ядро множества $A$ или внутренность множества $A$ -- множество всех внутренних точек множества $A$.

А мы договаривались об этом трамвае?

[Виктор Викторов]

alex1910 в сообщении #355347 писал(а):

Торможу наверное...

alex1910 в сообщении #355347 писал(а):

А что такое - открытое ядро?

alex1910 в сообщении #355366 писал(а):

А мы договаривались об этом трамвае?

Вам показалось мало этой истории topic35991.html?

[Профессор Снэйп]

alex1910 в сообщении #355366 писал(а):

А мы договаривались об этом трамвае?

Это довольно общепринятая договорённость. Впрочем, все, кто когда-либо оказывался способен поддерживать со мной беседу о топологии, предпочитали использовать более короткий термин "внутренность".

Когда-то давным-давно, благополучно прогуляв все лекции по матану, перед экзаменом разжился толстой книгой Лорана Шварца "Анализ" и учил определения исключительно по ней. Проникся так, что до сих пор прёт. Какие молодцы французы, что стараются употреблять короткие и точные термины. Например, "инъекция", "сюрьекция", "биекция"... У нас алгебраист их не любил и старательно выговаривал каждый раз фразу "взаимно однозначное отображение "на"". Потом выяснялось, что это "на" все дружно пропускали мимо ушей и постоянно задавались тяжёлым вопросом о коразмерности образа; слово "на" повторялось всё чаще и чаще, и в результате лекция приобретала лёгкий матерный оттенок...

В $\mathbb{R}^n$ (и даже в $l_2$) трамваи всем хорошо знакомы и обсуждать, как они правильно называются, большого интереса не представляет. А вот если взять пространство, которое не $T_1$ или даже не $T_0$, то насколько плотные фикусы могут в них вырасти?

[Виктор Викторов]

Профессор Снэйп в сообщении #355536 писал(а):

Когда-то давным-давно, благополучно прогуляв все лекции по матану, перед экзаменом разжился толстой книгой Лорана Шварца "Анализ" и учил определения исключительно по ней. Проникся так, что до сих пор прёт. Какие молодцы французы, что стараются употреблять короткие и точные термины. Например, "инъекция", "сюрьекция", "биекция"... У нас алгебраист их не любил и старательно выговаривал каждый раз фразу "взаимно однозначное отображение "на"". Потом выяснялось, что это "на" все дружно пропускали мимо ушей и постоянно задавались тяжёлым вопросом о коразмерности образа; слово "на" повторялось всё чаще и чаще, и в результате лекция приобретала лёгкий матерный оттенок...

Уважаемый Профессор Снэйп !
Такой милый и знакомый комментарий. Но почему так мелко? Вы хотите, чтобы я ослеп? Я с трудом тег освоил, а слепую азбуку мне не освоить.

[terminator-II]

Профессор Снэйп в сообщении #355536 писал(а):

Впрочем, все, кто когда-либо оказывался способен поддерживать со мной беседу о топологии,

Хорошо звучит.

[Виктор Викторов]

Профессор Снэйп в сообщении #355536 писал(а):

... все, кто когда-либо оказывался способен поддерживать со мной беседу о топологии, предпочитали использовать более короткий термин "внутренность".

Мне кажется, что это редкий случай отсутствия какой-либо дискриминации. Используют на равных "внутренность" и "открытое ядро". Мое сердце с открытым ядром. Люблю, когда упоминая об открытых множествах, говорят слово "открытое". Открытое ядро, открытый интервал, открытое отображение, открытая окрестность, открытое окно и т. д.