Задачка Дьюдени-кто вправит мозг?

[Lesobrod]

У Генри Дьюдени (кто не знает - сорри) есть задачка, привожу в общем виде.
В пяти $(m=5)$ пакетах содержится $n$ орехов. В первом и втором - $s1$, во втором и третьем - $s2$,
в третьем и четвертом - $s3$, в четвертом и пятом - $s4$ орехов. Найти надо, конечно, число орехов в каждом пакете.
Я как-то сразу понял, что из общего числа надо вычесть сумму тех пар, где не участвует данный пакет, т.е. $n2=n-s3-s4$ и т.д. Ураура, все получилось.
Дал задачку сыну, не лоху. "Пожалел" - уменьшил количество пакетов до четырех. Он завис. Потом и я завис.
Потом внес это все в Wolfram Mathematica. Вывод (экспериментальный!!) - при четном числе пакетов решения НЕТ. Стал мутить с матрицами, над-диагональными полосами и т.п.... Опять завис - как доказать в общем виде, не понимаю. Прошу помочь, а то Дьюдени уже переворачивается!!

[Утундрий]

Lesobrod в сообщении #355202 писал(а):

доказать в общем виде, не понимаю

Можно честно: доказав, что все четные определители равны нулю, а можно фокусом, заметив что в четном случае существуют переносы орехов из пакетов в пакет, не изменяющие исходных значений $\[n\]$ и $\[s_i \]$.
Например, для $\[m = 4\]$ таким переносом будет следующий: из перого пакета перенести во второй $\[k\]$ орехов и из третьего перенести в четвертый $\[k\]$ орехов. Ну и обратный процесс: из второго в первый и такое же количество из четвертого в третий. Вообще говоря, этим неоднозначность и исчерпывается: ранг матрицы в четном случае на единицу меньше числа искомых величин, следовательно однозначность восстанавливается фиксированием числа орехов в одном из пакетов.

[Lesobrod]

Так всё-таки можно получить какое-то семейство решений, в зависимости от параметра (причем параметр один при любом четном числе пакетов)?

[Утундрий]

Lesobrod в сообщении #355234 писал(а):

Так всё-таки можно получить какое-то семейство решений, в зависимости от параметра (причем параметр один при любом четном числе пакетов)?

Я разве не так написал?

[Lesobrod]

Бжжж .. А как выглядит это семейство явно?
Впрочем, сейчас отключюсь, завтра, наверное, сам все доведу до ума.
Если что, напишу уважаемому Утундрию в личку. Спасибо!

[Алексей К.]

Разбор случаев $m=1,2,3$ хорошо помогает вправлению мозга.