Проверьте, пожалуйста, задачки по множествам

[caxap]

1. Докажите, что любое семейство непересекающихся интервалов на прямой конечно или счетно. (Указание: в каждом интервале найдется рациональная точка)
Берем по одной рац. точке в каждом интервале и строим соответствие "интервал -- точка". Подмножество рац. чисел не более чем счетное, а значит любое семейство непересекающихся интервалов тоже.

2. Докажите, что любое множество "восьмерок" (две касающихся окрежности) на плоскости конечно или счетно.
Аналогично: выбираем внутри "восьмерки" точку $(x\in \mathbb Q,y\in \mathbb Q)$. Строим соответсвие между этими точками и восьмерками. Значит, любое множество восьмерок, также как и подмножество $\mathbb Q^2$, не более чем счетно.

3. Докажите аналогичное утверждение для букв "Т".
Тут затруднения. По-моему, не факт, что в букве "T" найдется точка с рац. координатами. А другой путь я что-то не нахожу.

4. Докажите, что точек строгого локального максимума любой функции действительного аргумента конечно или счетно.
Тут тоже затруднения. Была такая идея: понятие строгого лок. максимума имеет смысл только с окрестностью. Если бы эти окрестности были непересекающиеся, то из теоремы задачи 1 вытекает и эта теорема. Но окрестности ведь могут налегать друг на друга.

5. Докажите, что множество точек разрыва неубывающей функции действительного аргумента конечно или счетно.
Те же мысли, что и в четвертой.

[Хорхе]

1,2. Все ли эти отображения являются взаимно-однозначными?

3. Нарисуйте вокруг "разветвления" буквы Т маааленькую окружность и... подумайте! (После ответа на вопрос выше будут новые подсказки.)

5. Посмотрите на график функции не снизу, а сбоку.

[Padawan]

2-3. А если одна восьмерка лежит внутри другой, и мы для них выберем одну и ту же рациональную точку? Тут надо тоньше рассуждать. Это две одинаковые задачи. Я третью задачу лет этак пять назад поднимал :) Сейчас в архиве покопаюсь.

[ИСН]

Надо не одн.......

[caxap]

Я очень извиняюсь, опустил очень существенное условие во 2-й задаче: восьмерки непересекающиеся. Буквы "T" тоже.

Хорхе в сообщении #355094 писал(а):

1,2. Все ли эти отображения являются взаимно-однозначными?

По-моему, да (если учесть уточнение о неперечениии).

[Padawan]

2-3 http://dxdy.ru/topic260.html

[caxap]

Хорхе в сообщении #355094 писал(а):

3. Нарисуйте вокруг "разветвления" буквы Т маааленькую окружность и... подумайте!

В этой окружности можно найти рациональную точку. Или не это? Да и ведь никакой окружности там нет. Две буквы T могут очень плотно прилегать друг другу. Хотя... всегда будет тооненький промежуток, в котором будет рац. точка. Я туда думаю?

-- Ср сен 22, 2010 15:23:12 --

Padawan в сообщении #355103 писал(а):

2-3 topic260.html

Извините, из-за принципа даже смотреть не буду. Хочу сам решить. (Но с подсказкой)

-- Ср сен 22, 2010 15:27:54 --

(По 4-й, но не в тему)

Если бы там рассматривалась не вся числовая ось, а только отрезок, то по лемме Бореля можно выделить конечное число интервалов. Т.е. на отрезке может быть только конечное число лок. максимумов.

Это вообще никуда не относится. Просто интересно. Это правильно?

-- Ср сен 22, 2010 15:31:06 --

Хорхе в сообщении #355094 писал(а):

5. Посмотрите на график функции не снизу, а сбоку.

Тогда непрерывные части превратяться в непересекающиеся промежутки (интервалы, полуинтервалы, отрезки). По теореме из задачи 1 их не более чем счетное число. Так?

[caxap]

caxap в сообщении #355090 писал(а):

Была такая идея: понятие строгого лок. максимума имеет смысл только с окрестностью. Если бы эти окрестности были непересекающиеся, то из теоремы задачи 1 вытекает и эта теорема.

Будем уменьшать эти окрестности ("стягивать" к точке максимума). Рано или поздно они уже не будут друг друга пересекать. И применяем теорему из задачи 1. Так верно?

[Хорхе]

caxap в сообщении #355148 писал(а):

Будем уменьшать эти окрестности ("стягивать" к точке максимума). Рано или поздно они уже не будут друг друга пересекать. И применяем теорему из задачи 1. Так верно?

Ничего не получится. Множество локальных максимумов может быть всюду плотно. Вон Вам ИСН подсказал, что делать.

-- Ср сен 22, 2010 19:05:19 --

caxap в сообщении #355104 писал(а):

Хорхе в сообщении #355094 писал(а):

5. Посмотрите на график функции не снизу, а сбоку.

Тогда непрерывные части превратяться в непересекающиеся промежутки (интервалы, полуинтервалы, отрезки). По теореме из задачи 1 их не более чем счетное число. Так?

Немного не так. Не непрерывные части превратятся в непересекающиеся промежутки (то есть это, конечно, правильно, но этого мало!), а наоборот, ...

-- Ср сен 22, 2010 19:07:54 --

caxap в сообщении #355104 писал(а):

Хорхе в сообщении #355094 писал(а):

3. Нарисуйте вокруг "разветвления" буквы Т маааленькую окружность и... подумайте!

В этой окружности можно найти рациональную точку. Или не это? Да и ведь никакой окружности там нет. Две буквы T могут очень плотно прилегать друг другу. Хотя... всегда будет тооненький промежуток, в котором будет рац. точка. Я туда думаю?

Очень плотно не могут прилегать. То есть да, в этой окружности можно найти рациональную точку. Но, опять-таки, однозначности не будет (как с "восьмерками", которые хоть и не могут пересекаться, но одна вполне может лежать внутри другой), так что надо задуматься.

[caxap]

Хорхе в сообщении #355153 писал(а):

Ничего не получится. Множество локальных максимумов может быть всюду плотно. Вон Вам ИСН подсказал, что делать.

Я ИСН не понял.

Хорхе в сообщении #355153 писал(а):

Не непрерывные части превратятся в непересекающиеся промежутки (то есть это, конечно, правильно, но этого мало!), а наоборот, ...

А какая разница? По-моему, и так и так получаем не более чем счетное множество непересекающихся промежутков.

Хорхе в сообщении #355153 писал(а):

Очень плотно не могут прилегать. То есть да, в этой окружности можно найти рациональную точку. Но, опять-таки, однозначности не будет (как с "восьмерками", которые хоть и не могут пересекаться, но одна вполне может лежать внутри другой), так что надо задуматься.

Т.е. берём очень маленькую окружность вокруг точки соединения палок в "Т" или точки контакта окружностей в "8". Такую окружность всегда можно взять, чтобы туда другая фигура ("Т" или "8") не заходила (между фигурами всегда есть промежуток: между двумя неравными числами в $\mathbb R$ всегда найдется третье; это вроде бы называется аксиома полноты). В этой окружности берем точку с рац. координатами. Строим соответствие между этими точками и фигурами. Подмножество $\mathbb Q^2$ не более чем счетное, а значит и множество этих фигур тоже. Так?

[Хорхе]

caxap в сообщении #355164 писал(а):

Я ИСН не понял.

Ох уж этот ИСН с его недомолвками!

Возьмите не одну точку, а больше.

Цитата:

Хорхе в сообщении #355153 писал(а):

Не непрерывные части превратятся в непересекающиеся промежутки (то есть это, конечно, правильно, но этого мало!), а наоборот, ...

А какая разница? По-моему, и так и так получаем не более чем счетное множество непересекающихся промежутков.

Ну не скажите. Разница есть. Во-первых, промежуток непрерывности не обязательно транслируется в промежуток, а может и в точку. Во-вторых... Впрочем, хватит и первого.

[caxap]

Хорхе в сообщении #355181 писал(а):

Во-первых, промежуток непрерывности не обязательно транслируется в промежуток, а может и в точку.

Дошло. Спасибо.

Хорхе в сообщении #355181 писал(а):

Возьмите не одну точку, а больше.

Вы имеете ввиду сопаставить два ближайщих максимума с интервалом между ними, а потом опять по первой теореме? И еще вопрос: что такое "всюду плотно"? Это задачки из Верещагин, Шень "Начала теории множеств" из самого начала, когда много умных слов ещё незнакомо.

А про "8" и "Т" я правильно доказал?

-- Ср сен 22, 2010 19:27:08 --

А можно про максимумы так доказать: точками максимумов числовая ось делится на непересекающиеся интервалы. Далее теорема 1. ?

[Хорхе]

Нет, про восьмерки и тэшки Вы не решили. Давайте с максимумов начнем.

Всюду плотно -- это как $\mathbb Q$, то есть в любом интервале его точки есть. Соответственно, может не быть никаких соседних максимумов.

Нет, я имею в виду именно то, что я сказал: возьмите в каждом интервале из определения локального максимума по (ладно, подскажу уж) две точки. Вопрос только, каким образом и что это даст?

[caxap]

Хорхе в сообщении #355189 писал(а):

Всюду плотно -- это как $\mathbb Q$

Дошло.

Хорхе в сообщении #355189 писал(а):

Нет, я имею в виду именно то, что я сказал: возьмите в каждом интервале из определения локального максимума по (ладно, подскажу уж) две точки. Вопрос только, каким образом и что это даст?

Симметрично относительно точки максимума. Получится интервал, в котором будет рациональная точка. И т.д. Так?

-- Ср сен 22, 2010 19:48:53 --

Нет. Ведь в этом интервале неизвестно сколько других максимумов окажется. А "стянуть" интервал тоже нельзя... Не понимаю...

-- Ср сен 22, 2010 19:52:29 --

Но ведь по определению строго максимума: существует окрестность, в котором значение функции меньше, чем в точке максимума. Как максимумов может быть всюду плотно? Разве из определения не следует, что всегда есть окрестность (интервал), где максимум один?

[Хорхе]

Мы ж про локальные максимумы говорим, не про глобальные. Возьмите функцию Вейерштрасса, например, у нее множество точек локальных максимумов всюду плотно.

(Оффтоп)

И почему-то мне кажется, что функции, у которых множество точек локальных максимумов всюду плотно, образуют котощее множество.

Две симметричные точки нельзя брать, потому что они могут не оказаться рациональными, и это ничего не даст. Но уже теплее.