Сейчас заглянула на свой сайт, у меня много статей о нетрадиционных магических квадратах, в том числе и об идеальных.
Но раньше я строила такие квадраты только из произвольных натуральных чисел.
Вот несколько статей:
Нетрадиционные магические квадраты.
http://www.natalimak1.narod.ru/netradic.htm Нетрадиционные идеальные квадраты.
http://www.klassikpoez.narod.ru/idnet.htm Нетрадиционные магические квадраты (метод построения нетрадиционных идеальных квадратов порядка n = 4k + 2).
http://www.natalimak1.narod.ru/netradic1.htmДавно вынашиваю идею сделать книжку "Нетрадиционные магические квадраты", но никак не хватает времени. Наверное, сделаю просто сборник статей. Это намного проще. Всё систематизировать - это всё равно, что всё заново переписать. Сейчас всё это на сайте вперемежку со статьями о классических квадратах.
Вот закончу писать статью "Нетрадиционные пандиагональные квадраты" и займусь составлением сборника статей.
Хочу показать интересный метод построения нетрадиционных идеальных квадратов 9-го порядка. К сожалению, для квадратов из простых чисел он тоже не годится (как и ранее приведённые мной методы построения нетрадиционных пандиагональных квадратов 9-го порядка), но может использоваться для квадратов из произвольных натуральных чисел. В этом методе задействован метод составных квадратов, что само по себе очень интересно. Метод составных квадратов несколько раз описан в моих статьях о классических магических квадратах. Он очень простой. Здесь не буду его подробно описывать.
Но и это не всё: далее из полученного ассоциативного квадрата 9-го порядка получается идеальный квадрат путём определённой перестановки столбцов (или строк). Этот метод у меня описан как метод построения идеальных квадратов порядка
, но тоже для классических квадратов.
А теперь применяю этот метод для нетрадиционных квадратов.
В качестве основного квадрат взяла квадрат 3-го порядка из простых чисел:
Код:
17 89 71
113 59 5
47 29 101
в качестве базового квадрата, конечно, нужно взять один из вариантов классического квадрата 3-го порядка, я взяла такой:
Код:
2 7 6
9 5 1
4 3 8
Строим методом составных квадратов ассоциативный квадрат 9-го порядка:
Код:
26 98 80 71 143 125 62 134 116
122 68 14 167 113 59 158 104 50
56 38 110 101 83 155 92 74 146
89 161 143 53 125 107 17 89 71
185 131 77 149 95 41 113 59 5
119 101 173 83 65 137 47 29 101
44 116 98 35 107 89 80 152 134
140 86 32 131 77 23 176 122 68
74 56 128 65 47 119 110 92 164
В квадрате есть повторяющиеся числа, но это не важно. Если выбрать другой основной квадрат, можно избежать повторения чисел. Главное сейчас показать суть метода.
Теперь в полученном ассоциативном квадрате переставляем столбцы с шагом 2, то есть через два столбца. Можно точно так же перставить строки. В результате такой перестановки получаем идеальный квадрат:
Код:
26 71 62 98 143 134 80 125 116
122 167 158 68 113 104 14 59 50
56 101 92 38 83 74 110 155 146
89 53 17 161 125 89 143 107 71
185 149 113 131 95 59 77 41 5
119 83 47 101 65 29 173 137 101
44 35 80 116 107 152 98 89 134
140 131 176 86 77 122 32 23 68
74 65 110 56 47 92 128 119 164
К сожалению, при использовании метода составных квадратов мы получаем не только простые числа, хотя основной квадрат составлен из простых чисел.
А вот можно ли построить данным методом идеальный квадрат из смитов? Интересный вопрос! То есть надо взять в качестве основного квадрата 3-го порядка квадрат из смитов, но такой, чтобы в результате применения метода составных квадратов получились тоже только смиты. В методе составных квадратов к числам основного квадрата прибавляются следующие числа: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72.
Задача простая: требуется найти такой квадрат 3-го порядка из смитов
, чтобы все числа
тоже были смитами.
Если это возможно, то идеальный квадрат 9-го порядка из смитов будет у нас в кармане.
Ага, это получается, что надо найти 9 арифметических прогрессий из смитов длины 9 с разностью 9, таких, что из первых членов этих прогрессий можно составить МК 3-го порядка. Возможно ли?
(31 пара псевдокомплементарных чисел), 
(20 пар), 
(33 пары), 
(16 пар). 
, и соответственно два отклонения с обратным знаком: 
) и формировать соответствующие этим отклонениям группы псевдокомплементарных пар. Далее всё это вводится в программу (через входной файл), и программа выполняется.
.
Приходится снижаться:
. Хотя количества псевдокомплементарных пар с такими отклонениями были довольны большие (21 и 22), квадрат долго не находился. Тогда я взяла другой комплект отклонений: 
.
, и ещё три группы с обратными отклонениями 
. То есть всего получается 6 групп, а в конфигурации svb 18 групп. В три раза больше! В предлагаемой конфигурации только два независимых отклонения: 
.
, элементы группы с отклонением 
и далее соответственно элементы групп с отклонениями 
. Конфигурация, заполненная элементами, выглядит следующим образом:
, группы псевдокомплементарных пар содержат 24, 10, 13, 18, 22, 9 пар.
такой массив для данной константы вообще нельзя сформировать.
. Группы псевдокомплементарных пар сформировались неплохие: с отклонением 6 - 27 пар, с отклонением -6 - 22 пары, с отклонением 54 - 21 пара, с отклонением -54 - 24 пары.