Периметр и площадь

[Sasha2]

Вряд ли верно ли, что два треугольника, имеющие равные периметры и равные площади одновременно, равны.
Интересно, а что сюда нужно добавить, чтобы это уже стало верным.

[ИСН]

Ещё что-нибудь одно. Посчитайте число степеней свободы.

[gris]

Я себе так представил: кольцо из верёвочки растягивается тремя пальцами. Периметр постоянный - длина верёвочки. Можно ли сделать так, чтобы пальцы двигались, ограничивая верёвочкой постоянную площадь, а форма треугольника менялась? При некотором соотношении периметра и площади нельзя

[ИСН]

Ну это только при очень некотором.

[Null]

Еще радиуса описанной окружности хватит?

[Sasha2]

Я вот, честно скажу не знаю чего хватит.
Насчет описанной, вот так с ходу не скажу, но вот вписанная точно не подойдет, уже хотя бы потому, что площадь и периметр всякого треугольника однозначно определяют радиус вписанной в него окружности, а поэтому, это просто ничего не добавляет на самом деле.

[Виктор Викторов]

Рассмотрите треугольник с основанием $a$ и высотой $h$. Выразите сумму длин двух оставшихся сторон через $a$ и $h$. Подозреваю, что эта сумма зависит от соотношения в котором высота, проведенная из вершины, делит сторону $a$. (Проверьте).

[VAL]

Sasha2 в сообщении #355030 писал(а):

Я вот, честно скажу не знаю чего хватит.
Насчет описанной, вот так с ходу не скажу, но вот вписанная точно не подойдет, уже хотя бы потому, что площадь и периметр всякого треугольника однозначно определяют радиус вписанной в него окружности, а поэтому, это просто ничего не добавляет на самом деле.

Хватит любого третьего независимого данного.
Более тонкий вопрос: что значит "определяют треугольник"? Недавно обсуждался вот тут.

[12d3]

VAL в сообщении #355038 писал(а):

Хватит любого третьего независимого данного.

Еще надо, чтобы треугольник определялся однозначно. Например, сторона треугольника, высота, проведенная к этой стороне и радиус описанной окружности могут задавать два различных треугольника.

[VAL]

12d3 в сообщении #355043 писал(а):

VAL в сообщении #355038 писал(а):

Хватит любого третьего независимого данного.

Еще надо, чтобы треугольник определялся однозначно. Например, сторона треугольника, высота, проведенная к этой стороне и радиус описанной окружности могут задавать два различных треугольника.

Я ведь написал об этом. И даже ссылочку привел.

[Sasha2]

Виктор Викторов в сообщении #355036 писал(а):

Рассмотрите треугольник с основанием $a$ и высотой $h$. Выразите сумму длин двух оставшихся сторон через $a$ и $h$. Подозреваю, что эта сумма зависит от соотношения в котором высота, проведенная из вершины, делит сторону $a$. (Проверьте).

А что это дает. Треугольник, у которого всего лишь фиксирована одна сторона, не может при равенстве периметров быть равен другому треугольнику по площади, ибо зафиксировав одну из его сторон мы сделали ГМТ третьей его вершины эллипс с фокусами в концах данной фиксированной стороны, а ГМТ третьих вершин треугольников одной и той же площади с фиксированной одной стороной есть прямые, параллельные этой фиксированной стороне.

[Виктор Викторов]

Все треугольники с фиксированным основанием и фиксированной высотой к этому основанию имеют одну и ту же площадь. Остается заставить сумму длин двух оставшихся сторон быть без изменения. И здесь очень помогает дважды примененная теорема Пифагора. Там всё очень хорошо видно.

[Sasha2]

Нет Вы неправы, этого в предложенной Вами схеме невозможно достичь.
Еще раз, если треугольники имеют фиксированную сторону и соответственную высоту, то их третьи вершины лежат на прямой.
А ГМТ треугольников с фиксированной стороной и фиксированным периметром - это эллипс.
Отсюда все и следует.

[Виктор Викторов]

Sasha2 в сообщении #355170 писал(а):

Нет Вы неправы, этого в предложенной Вами схеме невозможно достичь.

??????????????????????????????????
Новое слово в геометрии. Треугольники с одним и тем же основанием и высотой к этому основанию могут иметь разную площадь. Напишите формулу площади треугольника.

[Sasha2]

Наверно Вы просто не поняли или мы говорим о разном.
Речь идет о двух треугольниках, имеющих одновременно и равные площади и равные периметры.
То что Вы говорите, совершенно верно. А именно два треугольника с равными сторонами и с равными высотами будут иметь и равные площади, но тогда при равенстве их периметров, они полностью равны, в чем Вы можете убедиться сами, проведя секущую к эллипсу, параллельную его большой полуоси.