Cyclic quadrilateral and a middle

[Dimoniada]

Т. о пропорциональных отрезках ($CD'\uparrow\uparrow MN'$) и т. о средней линии.

[Sasha2]

То, что DC' параллельно MN' понятно, но вот откуда Вы берете, что KL им параллельной не совсем понятно.
Непонятно, почему NN' пройдет через K.

[Dimoniada]

По построению: у вас $BCAC'$ - параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке $K$ (середина $BA$), далее по построению $BN=AN'$, значит и $BNAN'$ - параллелограмм, диагонали которого тоже пересекаются в $K\Rightarrow$ $NN'$ делится точкой $K$ пополам.
А $KL$ - средняя линия в тр-ике $DCC'$.

[Sasha2]

Вот теперь понятно.
Сбасибо большое, уважаемая Dimoniada.
И приношу свои извинения за то, что столько отнял у Вас времени.
Да что-то я сильно тупил при решении этой вообщем-то и не очень то сложной задачи.
Наверно опять все то же нагромождение линий не позволило сразу же увидеть эти очевидные факты.
Ценность задачи, конечно, только в том, что большое нагромождение линий позволяет затруднить восприятие этих вообщем-то очень очевидных фактов.

[ins-]

Dear Dimoniada,
The problem is not very difficult and there at least five ways to solve it.
Your constructions are not so obvious. If you see the thread in mathlinks
they solve it in three different ways but no one made such elegant constructions.
You are right it is not a problem for All Russian Olympiad, Bulgarian Math Olympiad last round and IMO
but it can be used for some local or regional competition.
Can you post a clear picture with your constructions?