Cyclic quadrilateral and a middle

[ins-]

ABCD is cyclic quadrilateral. P is intersection point of its diagonals. K and L are middles of AB and CD.
M is a point on the segment AD such that AM=AP. N is a point on the segment BC such that BN=BP.
Q is the intersection point of KL and MN. Prove that Q is the middle of MN.

[Sasha2]

По моему, в этой задаче уже что-то не так.
Простой контрпример получается когда в качестве такого вписанного четырехугольника (если под этим подразумевается цикличность) берется например равнобочная трапеция, целиком лежащая в обной из двух полукрожностей, на которые диметр, параллельный основаниям этой трапеции, делит всю окружность пополам на две полуокружности.

[ins-]

The description may not be clear enough, but in general its true. If it is false it will be very interesting. Two persons said they solved the problem in the common case. Sasha2, can you show a picture. I cannot understand you completely.
Cyclic = inscribed.

[Sasha2]

Вот пожалуйста.

[ins-]

M and N are not on the segments mentioned in the statement. Please correct your graphic.
"M is a point on the segment AD" is not the same as
"M is a point on the arc AD"

As I understand "segment" means M is between A and D on the line AD.

[Sasha2]

Вы сами тогда прочитайте свое утверждение, а именно.
Точка P - это точка пересечения диагоналей AD и BC.
И если M - это точка на отрезке AD, то тогда AM=AP подразумевает, что M=P.
И аналогично получается, что и N=P.
Так что ли выходит?

[ins-]

Точка P - это точка пересечения диагоналей AD и BC.
И если M - это точка на отрезке AD, то тогда AM=AP подразумевает, что M=P.
It is false.
Diagonals are AC and BD. M is on the side AD.

-- Вт сен 21, 2010 16:36:06 --

A, B, C, D are in this order on the circle

[Sasha2]

Ну а как так может быть, чтобы точка P и точка M лежали на одной и той же прямой по одну и ту же сторону от точки A и на одном и том же расстоянии от нее и не совпадали. Покажите это на чертеже.

How it may be for two points P and M lying on the same line and on the same side from one and the same point A not to coincide.

[ins-]

"How it may be for two points P and M lying on the same line and on the same side from one and the same point A not to coincide."

Sasha2 on your picture A,B,C,D are in order A,B,D,C it is the reason you don't understand me. I should go. Tonight I'll post a picture.

[Dimoniada]

Не олимпиадная это задача. Все отрезки $MN$, для которых выполнено $AM/MD=BN/NC$ делятся прямой $KL$ пополам.

[Sasha2]

Вот Вашу пропорцию, уважаемая Dimoniada, я получил легко, усмотрев, подобие треугольников ADP и BPC, а также подобие двух равнобедренных треугольников AMP и BNP. Далее уже дело техники, вычесть одно отношение из другого.
Но вот может поямните Ваше утверждение насчет прямой KL, которая обязана делить все такие отрезки, а то что-то голова не варит.
Ну или хотя бы намекните куда копать.

[Dimoniada]

Не огр. общности, в обозначениях вашего, но слегка исправленного чертежа, пусть $N$ лежит на отрезке $BD$. Если достроить треугольник $BDA$ до параллелограмма $BDAD'$ и на стороне $AD'$ отметить точку $N'$, для которой $AN'=BN$, то $LK\uparrow\uparrow CD'\uparrow\uparrow MN'$. Тогда в тр-нике $NMN'$ через середину стороны $NN'$ (точка $K$) проходит прямая $KL$ параллельно его основанию $N'M$, значит $KL$ делит $NM$ пополам (тут т. о средней линии, как и в $LK\uparrow\uparrow CD'$).

-- Вт сен 21, 2010 19:54:03 --

В пред пред идущем моём посте надо поменять местами $C$ и $D$. $M$ лежит на $AC$ и $N$ лежит на $BD$.

[Sasha2]

Нет лучше в терминах задачи.
Непонятно как достраивать до параллелограмма.
И N лучше предполагать лежащей на BC, как у автора, а не на BD.

[Dimoniada]

Просто замените тогда в рассуждениях точку $D$ на С, а $D'$ на С'.

[Sasha2]

Нет непонятно.
Тогда просто укажите теоремы, которыми Вы пользовались.