Канторово множество.

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #351432 писал(а):

Чисто топологическое описание: $K=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$, где $\{0,1\}$ -- несвязное двоеточие (на прямом произведении счетного множества двоеточий берется тихоновская топология). Доказательство того, что

$$ f(\{\epsilon_n\}_{n\in\mathbb{N}})=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{2\epsilon_n}{3^n} $$

топологическое вложение (гомеоморфизм на образ) -- упражнение на тихоновскую топологию.

Этот гомеоморфизм доказан в книге П. С. Александрова «Введение в теорию множеств и общую топологию» на странице 255. Взаимно однозначное соответствие элементов очевидно. Куда более интересно доказательство взаимного однозначного соответствия открытых множеств. П. С. Александров делает это с помощью теоремы о взаимно однозначном соответствии баз. Он берет одну из баз пространства $K=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ и устанавливает взаимно однозначное соответствие элемента такой базы с пересечением ${\Pi}\cap\triangle_{i_1}..._{i_n}$ (${\Pi}$ -- канторово множество и $\triangle_{i_1}..._{i_n}$ -- замкнутый интервал). Это, конечно, база некоторой топологии. А вот как показать, что эта топология подпространства числовой прямой? Множество ${\Pi}\cap\triangle_{i_1}..._{i_n}$ пересечение замкнутого интервала $\triangle_{i_1}..._{i_n}$ с множеством ${\Pi}$. А как показать, что множество ${\Pi}\cap\triangle_{i_1}..._{i_n}$ пересечение множества ${\Pi}$ с некоторым открытым интервалом? Использовать выше описанный гомеоморфизм, к сожалению, нельзя -- мы именно его и доказываем.

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #354078 писал(а):

А как показать, что множество ${\Pi}\cap\triangle_{i_1}..._{i_n}$ пересечение множества ${\Pi}$ с некоторым открытым интервалом?

Но ведь непосредственно слева и справа от $\Delta_{i_1i_2\ldots i_n}$ - интервалы, не содержащие точек канторова совершенного множества (те, которые удалялись при построении $\Pi$, либо один из двух бесконечных интервалов,, примыкающих к отрезку $[0,1]$). Присоедините их к этому отрезку, и получите интервалы.

[Виктор Викторов]

Да. Конечно. Это "односторонние" точки. Ларчик просто открывался. Спасибо, Someone!