Чудная топология

[бобыль]

Я тут построил пример топологии, не тривиальной и не дискретной, элементы которой открыты и замкнуты одновременно.

Рассмотрим множество Х и оператор * на нем, такой, что х** = х. Для наглядности можно представить себе действительную прямую и умножение на -1. Точку х назовем граничной точкой множества Q из Х, если она принадлежит Q, а х* нет; совокупность таких точек обозначим fr Q. Множество int Q = Q - fr Q назовем внутренностью Q, а множество cl Q = Q + (fr Q)* назовем замыканием Q (если fr Q пусто, то его * тоже пусто). Наконец, множество Q = int Q назовем открытым, а множество Q = cl Q назовем замкнутым. Очевидно, открытые и замкнутые множества - это одно и то же. Разумеется, само множество Х открыто и замкнуто, а пустое множество пусть открыто и замкнуто по определению. Очевидно также, что объединение и пересечение любого числа открытых и замкнутых множеств тоже открыто и замкнуто. Вот и все, вроде ничего не напутал.

Конечно, вы спросите, где это может пригодиться? А сами вы как думаете?

[shwedka]

Когда я задаю вопрос и получаю: а ты сама что думаешь??
я обычно заявляю: а я первая спросила.

[бобыль]

shwedka писал(а):

Когда я задаю вопрос и получаю: а ты сама что думаешь??
я обычно заявляю: а я первая спросила.

Что я думаю? Ну... о мощности, например.

Если Q конечно и |Q| - его мощность, то

|int Q| = |Q| - |fr Q|,
|cl Q| = |Q| + |fr Q|.

Зафиксируем теперь Х = (0, 1) - интервал от 0 до 1 и конкретный оператор х* = (1 - х)/(1 + х). Возьмем целое число n > 2 и рассмотрим множество Qn всех несократимых дробей k/m, у которых 1 < k < m < n. Множество Qn, упорядоченное по возрастанию, называют рядом или последовательностью Фарея порядка n (1816 г.); иногда сюда причисляют еще 0 и 1. Так, для n = 6 получают

1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6,

где жирным я выделил граничные точки (т.е. они сами принадлежат Q6, а их * нет); их здесь 5 штук, и замыкание добавило бы сюда, чтобы сделать их внутренними, еще 5 точек:

5/7, 3/7, 1/7, 1/9, 1/11.

Понятно, что каждое рациональное число k/m из (0, 1) равно некоторой дроби Фарея.

Упорядочение, однако, меня пока не интересует, поэтому задаю вопрос: как соотносятся асимптотически мощности границы и внутренности множества Qn? т.е к чему стремится |fr Qn|/|int Qn|?

Гипотеза. При $n \to \infty$ дробь $|cl Q_n|/n^2$ имеет пределом небезызвестную серебряную пропорцию $c = c^* = \sqrt 2 - 1 = 0.4142...$ .

Так, |cl Q6|/36 = 4/9 = 0.4(4). Я проверил также вручную, что |cl Q30|/900 = 93/225 = 0.413(3) или 0.415(5), если к Q30 причислить еще 0 и 1; граничных точек тут 95 штук. Гипотеза вроде верна.

Следствие. $|fr Q_n|/|int Q_n| \to (c - 3/\pi^2)/(6/\pi^2 - c) = 0.569... \approx 4/7$, коль скоро (теорема Мертенса, 1874 г.) $|Q_n|/n^2 \to 3/\pi^2 = 0.3040.$

[бобыль]

Повторю все заноно, покороче. Вот мы взяли конечное множество $Q_n$ всех правильных несократимых положительных дробей, у которых числитель и знаменатель не превосходят заданного целого $n$, и применили к нему преобразование ${x}^* = (1 - {x})/(1 + {x})$. Получили множество $Q_n^*$, тоже конечное, пусть мощности $|Q_n^*|$. Спрашивается, чему равен предел $|Q_n^*|/n^2$ при $n \to \infty$?

Я пыжился, пыжился и, не вникая особенно в структуру $Q_n^*$, сумел доказать только, что

$$\frac{1}{3} < \lim\limits_{n \to \infty} \frac{|Q_n^*|}{n^2} < \frac{1}{2}$$

.

[Руст]

бобыль писал(а):

Повторю все заноно, покороче. Вот мы взяли конечное множество $Q_n$ всех правильных несократимых положительных дробей, у которых числитель и знаменатель не превосходят заданного целого $n$, и применили к нему преобразование ${x}^* = (1 - {x})/(1 + {x})$. Получили множество $Q_n^*$, тоже конечное, пусть мощности $|Q_n^*|$. Спрашивается, чему равен предел $|Q_n^*|/n^2$ при $n \to \infty$?

Я пыжился, пыжился и, не вникая особенно в структуру $Q_n^*$, сумел доказать только, что

$$\frac{1}{3} < \lim\limits_{n \to \infty} \frac{|Q_n^*|}{n^2} < \frac{1}{2}$$

.

А чего тут считать?
Так как преобразование взаимно однозначное, то мощность множества равна упорядояенных взаимно-простых пар чисел, не превосходящих n. При n стремящимся к бесконечности он равен $\frac{6}{\pi ^2}.$

[бобыль]

$\frac{6}{\pi^2}\approx0.6$ не подходит.

[Руст]

бобыль писал(а):

$\frac{6}{\pi^2}\approx0.6$ не подходит.

Подходит. Наверно, вы ограничились половиной (т.е. только числами не больше 1).

[бобыль]

Руст писал(а):

бобыль писал(а):

$\frac{6}{\pi^2}\approx0.6$ не подходит.

Подходит. Наверно, вы ограничились половиной (т.е. только числами не больше 1).

Да, я ограничился правильными дробями, но и половина, т.е. $\frac{3}{\pi^2}= 0.3040$, тоже не подходит, поскольку рассматриваются не просто несократимые дроби, но к ним применяется еще и указанное преобразование *. Например, при n = 6 имеем 11 и еще 5 дробей, так что вместо 11/36 = 0.305(5) получается 15/36 = 0.416(6). Заметная разница.

[Руст]

бобыль писал(а):

тоже не подходит, поскольку рассматриваются не просто несократимые дроби, но к ним применяется еще и указанное преобразование *. Например, при n = 6 имеем 11 и еще 5 дробей, так что вместо 11/36 = 0.305(5) получается 15/36 = 0.416(6). Заметная разница.

Я не понял ваших обозначений (под $Q^*$ естественно понимается множество элементов x*). Вначале вы обозначали это через cl(Q). Тогда подсчёт дает $\frac{4}{\pi ^2}$. Подсчёт лёгкий: к $\frac{3}{\pi ^2}$ добавляете тех, для которых 0<k<m<=n, (k,m)=1, k+m>n и k,m - числа разной чётности. Без условия k+m>n легко получается (2/3) от мощности Q (1/3 - оба нечётные). Из них половина, т.е. 1/3 |Q| удовлетворяет условию k+m>n. Итого получается 4/3|Q|, что и выражается указанным числом.

[бобыль]

Руст писал(а):

Я не понял ваших обозначений (под Q* естественно понимается множество элементов x*). Вначале вы обозначали это через cl(Q).

Это одно и то же: cl Q = Q*.

Цитата:

Тогда подсчёт дает $\frac{4}{\pi ^2}$. Подсчёт лёгкий: к $\frac{3}{\pi ^2}$ добавляете тех, для которых 0<k<m<=n, (k,m)=1, k+m>n и k,m - числа разной чётности. Без условия k+m>n легко получается (2/3) от мощности Q (1/3 - оба нечётные). Из них половина, т.е. 1/3 |Q| удовлетворяет условию k+m>n. Итого получается 4/3|Q|, что и выражается указанным числом.

Да, это ближе. Но я все же недопонял. Если для конечного n, например n = 6, это подсчет точный, то опять не получается, поскольку 4/3 |Q6| = 14.6(6), тогда как |Q6*| = 16.

[Руст]

бобыль писал(а):

Да, это ближе. Но я все же недопонял. Если для конечного n, например n = 6, это подсчет точный, то опять не получается, поскольку 4/3 |Q6| = 14.6(6), тогда как |Q6*| = 16.

Для малых n значение от предельного (вычисленного) значения может отличаться существенно. Я не гарантирую даже погрешность порядка 1/n (возможно сходится несколько медленнее). Поэтому, бессмысленно сравнивать точное значение для n=6 с предельным значением. Можете с помощью компьютера (это не сложно) посчитать точное значение для значений n порядка 1000000.

[бобыль]

Руст писал(а):

Тогда подсчёт дает $\frac{4}{\pi ^2}$. Подсчёт лёгкий: к $\frac{3}{\pi ^2}$ добавляете тех, для которых 0<k<m<=n, (k,m)=1, k+m>n и k,m - числа разной чётности.

Нет, что-то тут не так, поскольку в буквальном смысле это неверно. Например, для n = 6 добавляются дроби 5/7, 3/7, 1/7, 1/9, 1/11. Где же здесь "числа разной четности"? Как раз все числа нечетные, чтобы их разность и сумма сокращались на 2; однако добавляются не все такие дроби: например, 3/5 не добавляется, поскольку она уже и так есть.