Порядковая топология

[Padawan]

Пусть $(X,<)$ -- линейно упорядоченное множество. На $X$ можно ввести порядковую топологию $\tau$, принимая в качестве базы все интервалы $a<x<b$, $a,b\in X$.
Допустим, что по полученному топологическому пространству $(X,\tau)$ удается однозначно восстановить порядок $(X,<)$, в том смысле, что другому порядку будет соответствовать другая топология.
Гипотеза. Такая ситуация возможна только если $(X,<)$ изоморфен полуинтервалу числовой прямой.

[terminator-II]

Пусть $X=\{a,b\}$ и порядок $a<b$ -- по определению. Тут другого порядка и нету вроде, однако это не полуинтервал

[Padawan]

а $b<a$ ?

-- Сб сен 18, 2010 20:03:52 --

Еще вопрос: если $(X,\tau)$ связно, то $X$ - обязательно связный промежуток числовой оси?

[terminator-II]

Padawan в сообщении #353828 писал(а):

а $b<a$ ?

а разница в чем? в написании значка?
Я то всетаки намекал на содержательную вещь: пространство по крайней мере должно быть хаусдорфовым

[Padawan]

А порядковая топология всегда хаусдорфова.
Всё-таки, $a<b$ и $b<a$ -- это разные порядки на одном и том же множестве $X=\{a,b\}$ (но они изоморфны).

[terminator-II]

Padawan в сообщении #353838 писал(а):

А порядковая топология всегда хаусдорфова.

Это непонятно. Перечислите, пожалуйста, окрестности из моего примера
с учетом этого

Padawan в сообщении #353589 писал(а):

Пусть $(X,<)$ -- линейно упорядоченное множество. На $X$ можно ввести порядковую топологию $\tau$, принимая в качестве базы все интервалы $a<x<b$, $a,b\in X$.

[Padawan]

Да, я не прав. По моему определению получается антидискретная топология. Тогда добавим еще условие -- точки замкнуты, т.е. к базе добавим множества $X\setminus\{x_0\}$, $x_0\in X$.

Или лучше так: к базе добавим множества вида $x<a$ и $a<x$.

[Padawan]

Вообще-то понятно, что если порядок на $X$ по топологии и можно восстановить, то только с точностью до обращения. Поэтому пример terminator-II действительно подходит -- на $X=\{a,b\}$ существует всего один порядок, если мы не различаем противоположные порядки, и по топологии его можно восстановить (раз он всего один).

Так что сфорулирую заново исходный вопрос.

Пусть $(X,<)$-- линейно упорядоченное множество. Линейные порядки на $X$, противоположные друг другу, не различаем.
На $X$ рассмотрим порядковую топологию : её базу образуют множества $\{x|a<x<b\}$, $\{x|x<a\}$, $\{x|a<x\}$. Обозначим эту топологию $\tau=F(<)$.
Пусть из $<_1\neq <$ следует $\tau_1\neq\tau$, где $\tau_1=F(<_1)$. Тогда
Гипотеза: $(X,<)$ -- связный промежуток числовой оси или $(X,<)=\{a<b\}$.