Решить Тригонометрическое уравнение.

[Sasha2]

Хорошо, тогда если немного прищуриться и хорошенько приглядеться, то тогда Ваше тригонометрическое выражение может быть переписано и таким вот образом:
$(3\cos x -\sin x)^2+(\cos^2x+\sin^2x)$.
Может это поможет?

[Виктор Викторов]

ИСН в сообщении #353333 писал(а):

Смерть неизбежна.

gris в сообщении #353336 писал(а):

Смерти нет, об этом неоднократно сообщали в Свободном Полёте.

Как жить с этим противоречием?

[gris]

А что если не побояться и решить задачу на условный экстремум?
$F(x;y)=10x^2-6xy+2y^2\to \max,\min$
$x^2+y^2=1$

$20x-6y-2ax=0$
$-6x+4y-2ay=0$

$20-6\dfrac yx=-6\dfrac xy+4$

$6\left(\dfrac yx\right)^2-16\left(\dfrac yx\right)-6=0$

$1)\quad \dfrac yx=3;\,y=3x; x=\pm\sqrt{1/10};y=\pm3\sqrt{1/10};F=1-18/10+18/10=1$

$2)\quad \dfrac yx=-\dfrac 13;\,x=-3y; x=\pm3\sqrt{1/10};y=\mp\sqrt{1/10};F=9+18/10+2/10=11$

Ответ: $[1;11]$

[TOTAL]

gris в сообщении #353393 писал(а):

А что если не побояться и решить задачу на условный экстремум?
$F(x;y)=10x^2-6xy+2y^2\to \max,\min$
$x^2+y^2=1$

А если побояться и перейти к тангенсу?

$$F(t)=\frac{10-6t+2t^2}{1+t^2}\to \max,\min$$

[gris]

$$\int\dfrac{10-6t+2t^2}{1+t^2}\,dt=\int 2+\dfrac{8-6t}{1+t^2}\,dt=2t+8\arctg t-3\ln (1+t^2)+C$$

$\Phi(0)=1 \Longrightarrow C=1$
$F(0)+C=\dfrac{10-0+0}{1+0}+1=11$
Ответ: $[1;11]$
мистика какая-то
С ответом сходится - чего доказывать?

[Null]

А доказать правильность метода?

[gris]

Ладно, ещё попытка

$$\dfrac d{dx}20\cos^2 x- 6\cos x \sin x+ 2\sin^2 x = 20\cos x\sin x - 6\cos^2 x +6\sin^2 x- 4\sin x \cos x =0$$

$$6\tg^2-16\tg x-6=0$$

$$x_1=\arctg3;x_2=-\arcctg3$$

Подставим в функцию TOTAL, чего уж там.
Вы не поверите!!!
Опять $[1;11]$

Графически... Опять то же самое!!!

[Sasha2]

Вообще все это видно и из выражения $(3 \cos x -\sin x)^2+1$.
Минимум 1 очевиден.
Но и максимум выражения $(A \cos x + B \sin x)^2=(A^2+B^2)\cos (x+\phi)$ также очевиден

[amonrah]

gris в сообщении #353345 писал(а):

Совершенно верно, далее можно применить свойства арксинуса и арккосинуса, а также формулу синуса или косинуса суммы или разности задом наперёд.

Кстати, Вашу задачу можно трактовать и как вопрос об уравнении.

Найти множество значений y при которых уравнение $y=10\cos^2x - 6\sin x\cos x+2\sin^2 x$ имеет действительные корни.

:) так я когда решал его, то как раз и нашёл "случайно" множество всех y при которых уравнение имеет корень, это множество $0\le y \le \frac{11}{10}$

[amonrah]

Здравствуйте,

попалось вот такое уравнение, корни которого никак не удаётся найти, верней, не могу упростить его:

$1=\tg(z)+2*\cos(9z)$ где $z \ne \frac{\pi}{2} + \pi*n$


Возможно ли решить это уравнение, без того чтобы развинчивать $\cos(9z)$ до основания?

было исправлено

Зы: решение нужны в интервале $-2.5\pi...2.5\pi$

[ShMaxG]

Под $z$ Вы подразумеваете действительную переменную, или комплексную?

[amonrah]

ShMaxG в сообщении #354667 писал(а):

Под $z$ Вы подразумеваете действительную переменную, или комплексную?

вообще то действительную, была сделана замена $z = \frac{x}{3}$

[ShMaxG]

amonrah
А численно подойдет?

[amonrah]

Да численные решения есть, мне нужно просто подход узнать, как такое уравнение можно решить...

метод, так сказать.

[gris]

Лучше привести условие до замены, а то знаете-ли, разное бывает. Котангенс в тангенс превращается...