Решить Тригонометрическое уравнение.

[amonrah]

Добрый день, нужно найти область всех значений вот этого уравнения:

$y=10*cos^2(x) - 6*sin(x)*cos(x)+2*sin^2(x)$

Никак не могу упростить, что-бы выразить $y$ через значение какой нибудь одной триг. функции.

[Sasha2]

Ваше уравнение не имеет ни одного вещественного корня, что сразу бросается в глаза по неравенству AM-GM.

[ShMaxG]

Попробуйте так:
$\[\begin{gathered} 10{\cos ^2}x - 6\sin x\cos x + 2{\sin ^2}x = 2 + 8{\cos ^2}x - 6\sin x\cos x = \hfill \\ = 6 + 4\cos 2x - 3\sin 2x \hfill \\ \end{gathered} \]$


Додумайте дальше.

[gris]

Отделить один синус в квадрате и один косинус в квадрате. Увидеть квадратный трёхчлен. Разность в скобках выразить через синус.

[ShMaxG]

amonrah в сообщении #353220 писал(а):

нужно найти область всех значений вот этого уравнения

Область значений уравнения? Может быть область значений функции?

[amonrah]

Здравствуйте, большое спасибо за ответы.

Цитата:

"Ваше уравнение не имеет ни одного вещественного корня, что сразу бросается в глаза по неравенству AM-GM."

Так не корни нужны, а область всех значений.

Цитата:

Попробуйте так: $10{\cos ^2}x - 6\sin x\cos x + 2{\sin ^2}x = 2 + 8{\cos ^2}x - 6\sin x\cos x = 6 + 4\cos 2x - 3\sin 2x \$

не выходит нечего...

Цитата:

Отделить один синус в квадрате и один косинус в квадрате. Увидеть квадратный трёхчлен. Разность в скобках выразить через синус.

сделал но вот, вышло вот это:

$y-1=(3*cos(x)-sin(x))^2$

Но не могу упростить скобку хотя сделал бы так:

$y-1=(3*cos(x)-sin(x))^2 = (2*cos(x) + cos(x)-sin(x))^2 = (2*cos(x) + sin(\frac{PI}{2}-x)-sin(x))^2 = (2*cos(x) + 2*sin(\frac{PI}{4}-x)*cos(\frac{PI}{4}))^2 = (2*cos(x) + \sqrt{2}*sin(\frac{PI}{4}-x))^2 = (2*sin(\frac{PI}{2}-x) + \sqrt{2}*sin(\frac{PI}{4}-x))^2$

Но что делать теперь дальше?

[ИСН]

Кто Вас учил скрещивать синусы с косинусами? Надо не так. Смотрите.
$3\cos x - \sin x =\sqrt{10}\cdot\left({3\over\sqrt{10}}\cos x - {1\over\sqrt{10}}\sin x\right) = \sqrt{10}\cdot(\cos x\cos \varphi - \sin x\sin \varphi)...$

[TOTAL]

amonrah в сообщении #353314 писал(а):

Так не корни нужны, а область всех значений.

Что такое "область всех значений уравнения"?

[gris]

А я тогда продолжу гомологичную идею ShMaxGа и посмотрим, сойдутся ли ответы:

$10\cos ^2x - 6\sin x\cos x + 2\sin ^2x = 2 + 8\cos ^2x - 6\sin x\cos x = $
$=6 + 4\cos 2x - 3\sin 2x =6+ 5\cdot (\dfrac45\cos2x-\dfrac35\sin2x)=6+5\sin(...)$

Совершенно неважно, что там в скобках
Ещё одна идея - найти минимум и максимум этой непрерывной функции, что в 10 классе уже как бы и проходят.

Формулу преобразования $a\sin B\pm b\cos B$ надо знать.

Ещё меня всегда удивляла паника перед уравнением типа $\sin 23x+\cos 17x=0$

[amonrah]

ИСН в сообщении #353315 писал(а):

Кто Вас учил скрещивать синусы с косинусами? Надо не так. Смотрите.
$3\cos x - \sin x =\sqrt{10}\cdot\left({3\over\sqrt{10}}\cos x - {1\over\sqrt{10}}\sin x\right) = \sqrt{10}\cdot(\cos x\cos \varphi - \sin x\sin \varphi)...$

Спасибо.

тоесть выходит:

$y-1 = (\sqrt{10}*cos(x+\varphi))^2 => \frac{y-1}{10} = cos^2(x+\varphi) => |\sqrt{\frac{y-1}{10}}| = cos(x+\varphi)$

так как все значения косинуса лежат на промежутке: $-1<=cos(x)<=1$

то:

$|\sqrt{\frac{y-1}{10}}|<=1$

отсюда система:

${\frac{y-1}{10}}\ge 0 $

и

${\frac{y-1}{10}\le 1$

то-есть: $ 1\le y \le 11 $

:)

Цитата:

Что такое "область всех значений уравнения"?

скорей всего я под этим подразумеваю "множество" всех значений уравнения :) Sorry

-- Пт сен 17, 2010 12:04:40 --

Кстати ИСН, можете сказать, что за теорему вы использовали, что бы так умело вынести корень и десяти за скобку и тем самым нашли значения косинуса и синуса?

[ИСН]

В общих чертах верно, а остальному научитесь со временем. У уравнения нет множества значений. Показанный мной приём - не теорема. Воробей - птица. Россия - наше отечество. Смерть неизбежна.

[gris]

Альтернативно соглашусь.
Преобразование линейной комбинации можно рассматривать как теорему. Воробей не птица а "Елена, юморист".
Насчёт политики пропустим...
Смерти нет, об этом неоднократно сообщали в Свободном Полёте.

[amonrah]

gris в сообщении #353322 писал(а):

Формулу преобразования $a\sin B\pm b\cos B$ надо знать.
$[/math]

это она :

$\sqrt{a^2+b^2}*(\frac{a*cos(Z)}{\sqrt{a^2+b^2}} \pm \frac{b*sin(Z)}{\sqrt{a^2+b^2}})$

[gris]

Совершенно верно, далее можно применить свойства арксинуса и арккосинуса, а также формулу синуса или косинуса суммы или разности задом наперёд.

Кстати, Вашу задачу можно трактовать и как вопрос об уравнении.

Найти множество значений $y,$ при которых уравнение $y=10\cos^2x - 6\sin x\cos x+2\sin^2 x$ имеет действительные корни.

[TOTAL]

amonrah в сообщении #353220 писал(а):

$y=10*cos^2(x) - 6*sin(x)*cos(x)+2*sin^2(x)$

Никак не могу упростить, что-бы выразить $y$ через значение какой нибудь одной триг. функции.

Выражайте через $\tg(x)$