сходимость почти всюду

[terminator-II]

Доказать, что из последовательности $\{\sin nx\},\quad n\in\mathbb{N}$ нельзя извлечь подпоследовательность сходящуюся почти всюду.

[Хорхе]

Если сходится почти всюду на $[a,b]$, то сходится сильно, а потому и слабо, в $L^2[a,b]$, а потому к нулю. Но сильно к нулю сходиться эта последовательность, очевидно, не может.

[terminator-II]

Именно так. В связи с этим любопытно отметить, что в теме topic36397.html
Padawan и RIP заметили ,что 0 является предельной точкой этой последовательности в топологии поточечной сходимости. Это пример того, что вообще говоря, в топологическом пространстве к предельной точке множества нельзя дотянуться с помощью последовательности.

[paha]

Если в пространстве выполнена I аксиома счетности, то до любой предельной точки множества можно "дотянуться" последовательностью

[terminator-II]

Конечно. Просто обычно такие примеры пространств без первой аксиомы и чтоб последовательности ведущей к предельной точке не существовало весьма экзотичны. А тут все очень естественно: стандартные объекты анализа.

А вот еще задача: в исходном примере построить направленность принадлежащую последовательности и ведущую к предельной точке.