направленности последовательности

[terminator-II]

Рассмотрим последовательность функций $M=\{\sin nx\}_{n\in\mathbb{N}}$. По теореме Тихонова эта последовательность относительно компактна в $F=[-1,1]^{[0,2\pi)}$ снабженном топологией поточечной сходимости.
Следовательно последовательность $M$ имеет предельную точку $\in F$. Но из самой последовательности $M$ нелья извлечь поточечно сходящуюся подпоследовательность.
Гипотеза: Все предельные точки последовательности $M$являются неизмеримыми функциями.

Padawan, ау

[Padawan]

А $f(x)\equiv 0$ не будет предельной точкой, случайно? Возьмем конечный набор точек $x_1,\ldots,x_m\in(0,2\pi)$. Мне кажется, что существует подпоследовательность $\{\sin {n_k x}\}$ такая, что $\sin{n_k x_i}\to 0$ для всех $i=1,\ldots, m$. Не знаю, как доказать. Что-то по теме равномерно распределённых последовательностей.

[RIP]

Padawan в сообщении #353088 писал(а):

Мне кажется, что существует подпоследовательность $\{\sin {n_k x}\}$ такая, что $\sin{n_k x_i}\to 0$ для всех $i=1,\ldots, m$. Не знаю, как доказать.

Теорема. Пусть $L_i(\vec x)=\sum_{j=1}^na_{i,j}x_j$ --- вещественные линейные формы ($1\le i\le m$). Тогда для любого вещественного $X>1$ система неравенств
\begin{equation*}\left\{\begin{gathered}\max_{1\le i\le m}\|L_i(\vec x)\|<X^{-n/m},\\0<\max_{1\le j\le n}|x_j|\le X,\end{gathered}\right.\end{equation*}
имеет целое решение $\vec x\in\mathbb Z^n$.

Здесь $\|\xi\|=\min_{n\in\mathbb Z}|\xi-n|$. Это прямое следствие теоремы Минковского о линейных формах (чуть менее сильный результат легко доказывается с помощью принципа Дирихле). Вам нужен случай $n=1$.

[terminator-II]

Спасибо. Хотя вопрос всеравно остается. А нет ли среди предельных точек неизмеримых функций?

[Padawan]

Честно говоря, не понял сообщение RIP-а , но ему верю

Отсюда такой интересный вывод: теоремы об измеримых функциях -- теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, теорема Егорова и другие, не справедливы для общих направленностей. В противном случае гипотеза terminator-II-а была бы верна. Эти теоремы справедливы для направленностей, имеющих счетное конфинальное подмножество.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #353290 писал(а):

Отсюда такой интересный вывод: теоремы об измеримых функциях -- теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, теорема Егорова и другие, не справедливы для общих направленностей.

Padawan в сообщении #353290 писал(а):

Эти теоремы справедливы для направленностей, имеющих счетное конфинальное подмножество.

Это понятно.

Padawan в сообщении #353290 писал(а):

В противном случае гипотеза terminator-II-а была бы верна.

а это нет.

-- Fri Sep 17, 2010 11:52:40 --

Padawan в сообщении #353290 писал(а):

Честно говоря, не понял сообщение RIP-а

Товарисч хотел скзать, что итерации сдвига по тору обязательно возвращаются к исходной точке в данном случае к нулю. Сие следует из теоремы Пуанкаре о возвращении.