2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 направленности последовательности
Сообщение16.09.2010, 11:07 


20/04/09
1067
Рассмотрим последовательность функций $M=\{\sin nx\}_{n\in\mathbb{N}}$. По теореме Тихонова эта последовательность относительно компактна в $F=[-1,1]^{[0,2\pi)}$ снабженном топологией поточечной сходимости.
Следовательно последовательность $M$ имеет предельную точку $\in F$. Но из самой последовательности $M$ нелья извлечь поточечно сходящуюся подпоследовательность.
Гипотеза: Все предельные точки последовательности $M$являются неизмеримыми функциями.

Padawan, ау :D

 Профиль  
                  
 
 Re: направленности последовательности
Сообщение16.09.2010, 16:19 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
А $f(x)\equiv 0$ не будет предельной точкой, случайно? Возьмем конечный набор точек $x_1,\ldots,x_m\in(0,2\pi)$. Мне кажется, что существует подпоследовательность $\{\sin {n_k x}\}$ такая, что $\sin{n_k x_i}\to 0$ для всех $i=1,\ldots, m$. Не знаю, как доказать. Что-то по теме равномерно распределённых последовательностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: направленности последовательности
Сообщение16.09.2010, 18:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Padawan в сообщении #353088 писал(а):
Мне кажется, что существует подпоследовательность $\{\sin {n_k x}\}$ такая, что $\sin{n_k x_i}\to 0$ для всех $i=1,\ldots, m$. Не знаю, как доказать.

Теорема. Пусть $L_i(\vec x)=\sum_{j=1}^na_{i,j}x_j$ --- вещественные линейные формы ($1\le i\le m$). Тогда для любого вещественного $X>1$ система неравенств
\begin{equation*}\left\{\begin{gathered}\max_{1\le i\le m}\|L_i(\vec x)\|<X^{-n/m},\\0<\max_{1\le j\le n}|x_j|\le X,\end{gathered}\right.\end{equation*}
имеет целое решение $\vec x\in\mathbb Z^n$.

Здесь $\|\xi\|=\min_{n\in\mathbb Z}|\xi-n|$. Это прямое следствие теоремы Минковского о линейных формах (чуть менее сильный результат легко доказывается с помощью принципа Дирихле). Вам нужен случай $n=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: направленности последовательности
Сообщение16.09.2010, 20:58 


20/04/09
1067
Спасибо. Хотя вопрос всеравно остается. А нет ли среди предельных точек неизмеримых функций?

 Профиль  
                  
 
 Re: направленности последовательности
Сообщение17.09.2010, 09:03 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Честно говоря, не понял сообщение RIP:oops:, но ему верю :-)

Отсюда такой интересный вывод: теоремы об измеримых функциях -- теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, теорема Егорова и другие, не справедливы для общих направленностей. В противном случае гипотеза terminator-II-а была бы верна. Эти теоремы справедливы для направленностей, имеющих счетное конфинальное подмножество.

 Профиль  
                  
 
 Re: направленности последовательности
Сообщение17.09.2010, 10:33 


20/04/09
1067
Padawan в сообщении #353290 писал(а):
Отсюда такой интересный вывод: теоремы об измеримых функциях -- теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, теорема Егорова и другие, не справедливы для общих направленностей.

Padawan в сообщении #353290 писал(а):
Эти теоремы справедливы для направленностей, имеющих счетное конфинальное подмножество.

Это понятно.
Padawan в сообщении #353290 писал(а):
В противном случае гипотеза terminator-II-а была бы верна.

а это нет.

-- Fri Sep 17, 2010 11:52:40 --

Padawan в сообщении #353290 писал(а):
Честно говоря, не понял сообщение RIP-а :oops:

Товарисч хотел скзать, что итерации сдвига по тору обязательно возвращаются к исходной точке в данном случае к нулю. Сие следует из теоремы Пуанкаре о возвращении.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group