Да, что-то меня немного не туда занесло: тут же все сугубо дозвуковое и несжимаемое, так что Патанкара со Сполдингом более чем достаточно.
Теперь насчет Вивьяна (кажется так его звали, хотя может и переврал). Идея там простая как апельсин:
Пусть задано отображение
![$\[{\mathbf{r}} = {\mathbf{r}}\left( {x^1 ,x^2 } \right)\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/7/397ebc442c612ae082bbfd66551f52be82.png "$\[{\mathbf{r}} = {\mathbf{r}}\left( {x^1 ,x^2 } \right)\]$")
из пространства параметров
![$\[\left( {x^1 ,x^2 } \right)\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/a/fdacc2da1e2b3a03cc5db051063a249e82.png "$\[\left( {x^1 ,x^2 } \right)\]$")
в физическое пространство
![$\[{\mathbf{r}} = x \cdot {\mathbf{e}}_x + y \cdot {\mathbf{e}}_y \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/a/f1aed2f2546b016b86da2ed2da96b90c82.png "$\[{\mathbf{r}} = x \cdot {\mathbf{e}}_x + y \cdot {\mathbf{e}}_y \]$")
. Тогда, как известно,
![$\[{\mathbf{r}}_{,\alpha \beta } = \Gamma _{\alpha \beta }^\gamma \cdot {\mathbf{r}}_{,\gamma } \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/a/4fa3488293b5c2e3ea6bf9f06dbb768982.png "$\[{\mathbf{r}}_{,\alpha \beta } = \Gamma _{\alpha \beta }^\gamma \cdot {\mathbf{r}}_{,\gamma } \]$")
,
![$\[g_{\alpha \beta } = {\mathbf{r}}_{,\alpha } \circ {\mathbf{r}}_{,\beta } \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/2/4b2e97a6acb70c40d625446da0d0439482.png "$\[g_{\alpha \beta } = {\mathbf{r}}_{,\alpha } \circ {\mathbf{r}}_{,\beta } \]$")
,
![$\[{\mathbf{r}}^\alpha = \nabla x^\alpha \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/c/fcc7bea618a707e4c96f655dadc0564c82.png "$\[{\mathbf{r}}^\alpha = \nabla x^\alpha \]$")
, причем
![$\[{\mathbf{r}}^\alpha {\mathbf{r}}_{,\alpha } = \hat 1
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/b/0cbac60b6b3a9fe31b6dda2f5c05620382.png "$\[{\mathbf{r}}^\alpha {\mathbf{r}}_{,\alpha } = \hat 1
\]$")
,
![$\[{\mathbf{r}}^\alpha \circ {\mathbf{r}}_{,\beta } = \delta _\beta ^\alpha \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/5/e45660684328ef52faecc375f585da9f82.png "$\[{\mathbf{r}}^\alpha \circ {\mathbf{r}}_{,\beta } = \delta _\beta ^\alpha \]$")
,
![$\[\left( {\nabla x^\alpha } \right)_{.\alpha } = - \frac{{\left( {\sqrt g } \right)_{,\alpha } }}{{\sqrt g }}{\mathbf{r}}^\alpha \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/9/cd9ba547fc41da4a2dab150378e7ca0882.png "$\[\left( {\nabla x^\alpha } \right)_{.\alpha } = - \frac{{\left( {\sqrt g } \right)_{,\alpha } }}{{\sqrt g }}{\mathbf{r}}^\alpha \]$")
Используя всю эту музыку, для дивергенции вектора получаем
![$\[
\nabla \circ {\mathbf{F}} = \nabla x^\alpha \circ {\mathbf{F}}_{,\alpha } = \left( {\nabla x^\alpha \circ {\mathbf{F}}} \right)_{,\alpha } - \left( {\nabla x^\alpha } \right)_{.\alpha } \circ {\mathbf{F}} = \frac{1}
{{\sqrt g }}\left( {\sqrt g \cdot \nabla x^\alpha \circ {\mathbf{F}}} \right)_{,\alpha }
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/f/3ef8b2975810d6da3b67a4504019986f82.png "$\[
\nabla \circ {\mathbf{F}} = \nabla x^\alpha \circ {\mathbf{F}}_{,\alpha } = \left( {\nabla x^\alpha \circ {\mathbf{F}}} \right)_{,\alpha } - \left( {\nabla x^\alpha } \right)_{.\alpha } \circ {\mathbf{F}} = \frac{1}
{{\sqrt g }}\left( {\sqrt g \cdot \nabla x^\alpha \circ {\mathbf{F}}} \right)_{,\alpha }
\]$")
Как видно, векторность тут не принципиальна. В частности для тензора второго ранга получим точно такое же выражение
![$\[
\nabla \circ \hat Q = \frac{1}
{{\sqrt g }}\left( {\sqrt g \cdot \nabla x^\alpha \circ \hat Q} \right)_{,\alpha }
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/2/fc200ddf8ea91fdc3ad91544be10d0be82.png "$\[
\nabla \circ \hat Q = \frac{1}
{{\sqrt g }}\left( {\sqrt g \cdot \nabla x^\alpha \circ \hat Q} \right)_{,\alpha }
\]$")
.
Осталось домножить справа на орты
![$\[{\mathbf{e}}_x \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/9/fe970b002d1da36032be399bcb5a7f5e82.png "$\[{\mathbf{e}}_x \]$")
и
![$\[{\mathbf{e}}_y \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/0/4d0a1f678f5a4e1ba8f74ab706228ad182.png "$\[{\mathbf{e}}_y \]$")
да внести их под производную, т.к. орты эти постоянны. Вот и все - дивергентная форма получена.
И все было бы хорошо, если бы не угловая скорость...
Для двумерного случая система уравнений e уменя получилась следующая:
![$\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{{\partial {\mathbf{V}}}}
{{\partial t}} + \nabla \circ \left( {{\mathbf{VV}} - \frac{{r^2 \dot \omega }}
{2}\hat 1 \times {\mathbf{e}}_z } \right) + \frac{1}
{\rho }\nabla p_{eff} = \nu \cdot \nabla ^2 {\mathbf{V}} - 2\omega {\mathbf{e}}_z \times {\mathbf{V}}} \\
{\nabla \circ {\mathbf{V}} = 0} \\
\end{array} } \right.
\]
$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/b/a2b4ec12d546e2b4a43f9281d7d14ea182.png "$\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{{\partial {\mathbf{V}}}}
{{\partial t}} + \nabla \circ \left( {{\mathbf{VV}} - \frac{{r^2 \dot \omega }}
{2}\hat 1 \times {\mathbf{e}}_z } \right) + \frac{1}
{\rho }\nabla p_{eff} = \nu \cdot \nabla ^2 {\mathbf{V}} - 2\omega {\mathbf{e}}_z \times {\mathbf{V}}} \\
{\nabla \circ {\mathbf{V}} = 0} \\
\end{array} } \right.
\]
$")
где
![$\[
p_{eff} = p - \frac{{\rho r^2 \omega ^2 }}
{2}
\]
$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/c/62cf040b42ceb516acd488601eaef85682.png "$\[
p_{eff} = p - \frac{{\rho r^2 \omega ^2 }}
{2}
\]
$")
Как видно, удалось засунуть под наблу все, кроме последнего слагаемого в первом уравнении...
Точно. Я даже не посмотрел, что я написал перед этим. Надо исправить. Спасибо.
), но для равномерно вращающейся системе отсчета (steadily rotating frame) (формула (10-2-5)). И ссылка на источник, откуда была взята эта формула, там не приведена, так что, чтобы эту ссылку найти, нужно просмотреть все 417 источников из 
). Гугл тоже на запрос "консервативная форма Вивьяна" ничего толкового не выдаёт. Где бы её увидеть?
![$\[{\mathbf{U}} = \left( {{\mathbf{V}} + i{\mathbf{e}}_z \times {\mathbf{V}}} \right)e^{ - 2i\theta } \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/0/0e0ea0d4c70e49fffe6c2d897b162f5782.png "$\[{\mathbf{U}} = \left( {{\mathbf{V}} + i{\mathbf{e}}_z \times {\mathbf{V}}} \right)e^{ - 2i\theta } \]$")
, где ![$\[\dot \theta = \omega \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/0/79092f6aa492fbd09a299f1c5e81186482.png "$\[\dot \theta = \omega \]$")
то уравнения относительно ![$\[{\mathbf{U}}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/6/2b6d9afe66d4cfcb9c3d6856c419f03182.png "$\[{\mathbf{U}}\]$")
будут полностью консервативны. Обычно такое удвоение неизвестных нежелательно, но в данном простом случае, думаю, компьютеру безразлично...![$\[{a_e}{u_e} = \sum {{a_{nb}}{u_{nb}} + b + ({p_{P - }}{p_E}){A_e}} \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/2/3822dbce0af4f8fbc55b923045910cb582.png "$\[{a_e}{u_e} = \sum {{a_{nb}}{u_{nb}} + b + ({p_{P - }}{p_E}){A_e}} \]$")
) есть такие коэффициенты ![$\[{a_{nb}}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/0/d605d796d3198edc9965ca8ea851520482.png "$\[{a_{nb}}\]$")
. Что в них должно быть я могу только догадываться. Вместо предложенных Патанкаром уравнений решать уравнения движения в какой-нибудь другой форме можно, но я, видимо, несколько туповат, чтобы сейчас проявить инициативу. Тем более всё равно эти коэффициенты потребуются при расчёте поправки давления.
и 
- это компоненты моего 
, а индексы массивов - суть значения моих 
и 
в узлах сетки. В координатах 
сетка прямоугольная. Так и работайте в этих координатах: интегрируйте по контрольному объему, получайте коэффициенты и т.д. И потом по мере расчета просто пересчитывайте результаты в физическую область.