Quadrilateral and lines

[ins-]

It is given the convex quadrilateral ABCD. K, L, M, N are on the segments AB, BC, CD, DA.
AK/BK=DM/CM. L is the middle of BC, N is the middle of AD. P is the intersection points
of AM and DK. Q is the intersection point of BM and CK. Prove that PQ||LN;

[gris]

На $L$ и $N$ можно наложить те же условия, что и на $K$ и $M$.
Обратная теорема Фалеса говорит, что всё будет ОК.

(Оффтоп)

Осторожно замечу, что $PQ\parallel LN$ смотрится лучше, чем PQ||LN, а $\angle BCK$ лучше, чем <BCK. Хотя всё и без того понятно, но <далее следует витееватая словесная конструкция о соответствии формы и содержания, переводимая как призыв пользоваться $\TeX$ом.>

[ins-]

Another question is when LN and QN coincides?

[Dimoniada]

$LN$ и $QN$ "совпадают" тогда и только тогда, когда $BC \uparrow \uparrow AD$. Решение напишу некоторое время спустя

[ins-]

Thank you! Can you solve the general problem? It "smells" to Menelaus and some additional constructions like line extensions if I'm not wrong.