Тригонометрическая система

[zodiac]

Помогите разобраться с решением системы:
$\begin{cases} \sin x + \frac{1}{\cos y} = 2\sqrt[3]{14} \\ \sin x * \frac{1}{\cos y} = \sqrt[3]{196} - 2 \end{cases}$

Делал (для удобства) через замену:
$a = \sin x$
$b = \cos y$
$c = \sqrt[3]{14}$

В конце решения пришел к этому:
$a = \sin x = \sqrt[3]{14} - \sqrt{2}$
$b = \cos y = \frac{1}{\sqrt[3]{14} + \sqrt{2}}$

А вот как решить эти уравнения? Или оставлять arcsin и arccos?

[Cash]

Да, оставлять, но необходимо проверить, что полученные значения принадлежат области значений синуса/косинуса
В частности проверить, что
$\sqrt[3]{14} - \sqrt{2} \le 1$

[ShMaxG]

Просто пишите арксинус и арккосинус и не парьтесь. (ну и проверив, конечно, что соотв. числа не превышают единицы по модулю).

[zodiac]

Вольфрам говорит, что не превышают.

[AKM]

Думаю, доказательство этого - необходимая часть решения.

[zodiac]

А каким методом это можно доказать?

[ИСН]

C помощью аккуратного нагромождения алгебраических преобразований (переносы, возведения в степень, что-то ещё) привести к виду 1>0.

[AKM]

Cash в сообщении #352399 писал(а):

$\sqrt[3]{14} - \sqrt{2} \le 1$

Так просто не видно, что $\sqrt[3]{14} \le 1 + \sqrt{2} $. Но сравним кубы этих чисел. Может, с ними будет виднее?
(При этом мы устно убедились, что число $\sqrt[3]{14} - \sqrt{2}$ положительно.)

[zodiac]

AKM в сообщении #352418 писал(а):

Но сравним кубы этих чисел. Может, с ними будет виднее?

Угу, спасибо.

Правильно?
$\sqrt[3]{14}\le1+\sqrt{2}$
$14\le(1+\sqrt{2})^3$
$14\le7+5\sqrt{2}$
$7\le5\sqrt{2}$

Потом возводим это в квадрат:
$7^2\le(5\sqrt{2})^2$
$49\le50$
Ч.т.д.

[AKM]

Угу, пожалуйста. С остальным справитесь? Понятно, зачем

AKM в сообщении #352418 писал(а):

(При этом мы устно убедились, что число $\sqrt[3]{14} - \sqrt{2}$ положительно.)

?

[zodiac]

AKM в сообщении #352448 писал(а):

Понятно, зачем...?

Ну я это заиспользовал для арксинуса и арккосинуса.