Непериодическая функция

[Padawan]

Построить функцию $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$, для которой любое рациональное число является периодом, и никакое иррациональное число не является периодом.

[Хорхе]

Именно построить?

[gris]

А функция Дирихле разве не подходит?
Вы не наоборот имели в виду?

[Хорхе]

Тьху ты, точно.

-- Вт сен 14, 2010 13:05:49 --

Наоборот не бывает. Сумма периодов --- период.

[Cash]

В иррациональных может быть счетное число значений.
Например, в иррациональных алгебраических одно значение, в прочих (иррациональных) другое.
Также легко построить по квадратным, кубическим и т.д. иррациональностям.
А вот может область значений быть равна $\mathbb R$?

[Хорхе]

Запросто.

[Cash]

Ответ очевиден.
А есть ли "школьное" доказательство?
В том смысле, чтобы эту функцию нам предъявить?

[Хорхе]

Это вряд ли.

[worm2]

Ну, можно каждое иррациональное $x \in (0,1)$ разложить в бесконечную цепную дробь: $[a_0; a_1, a_2, \dots]$, причём $a_0=0$. Если $a_1$ чётное ($a_1=2n$), то берём $f(x)=[n-1; a_2, a_3, \dots, a_n]$ (конечная цепная дробь), а если нечётное, то $f(x)=[a_1-1; a_2, a_3, \dots]$ (бесконечная). Образом $(0,1)$ будет $\mathbb{R}_{+}$, далее тривиально.

[upd] Подсказывают, что фигушки, у функции будет период 2, а не "любое рациональное число".

[Cash]

Что-то у меня большие сомнения что значения функции в точках $(\sqrt{5}-1)/2$ и $(\sqrt{5}-2)/2$ будут совпадать.
А вот мера иррациональности (для иррациональных) является отображением на $[2;+\infty)$

[terminator-II]

Хорхе в сообщении #352302 писал(а):

Запросто.

а можно подробней?

[Cash]

идея доказательства существования следующая.
Введем отношение эквивалентности: 2 числа эквивалентны, если их разность рациональна.
Тогда множество действительных чисел распадается на классы эквивалентности, причем множество этих классов и множество действительных чисел равномощны и между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

[terminator-II]

Да, действительно класов эквивалентности тоже континум. И без аксиомы выбора такую функцию видимо не посторить

[worm2]

Cash писал(а):

Что-то у меня большие сомнения что значения функции в точках $(\sqrt{5}-1)/2$ и $(\sqrt{5}-2)/2$ будут совпадать.

У меня тоже теперь появились

Цитата:

А вот мера иррациональности (для иррациональных) является отображением на $[2;+\infty)$

А что тут дальше обсуждать? Это же решение. Берём функцию:

$$g(x)=\left\{\begin{array}{rcl} 1&,&x\in\{0, 3, 4\}\\ \frac{(x-1)(x-4)}{x(x-3)}&,&x\notin\{0, 3, 4\} \end{array}\right.$$

(она отображает единицу в 0, $[2;+\infty)$ — в $\mathbb{R}\setminus\{0\}$; $+\infty$ отображается в 1). Тогда $f(x)=g(\mu(x))$ — требуемая функция. Правда, тут ещё не хватает доказательства того, что для каждого $x$, не меньшего двух, существует число, мера иррациональности которого равняется в точности $x$. Наверное, такая теорема есть.