Как же нам понять, что же фракталы делают

[lmv2010]

Что-то еще необходимо нам для того, чтобы получать-то здесь какие-то всесторонние не то чтобы обсуждения, но что-то еще при этом сделать. Как-то важно это для всех, причем-то это ведь не просто так нужно. Что-то здесь не так ведь происходит.

Мне-то хотелось бы что-то здесь обсудить не просто так, но что-то еще при этом и как-то получить новое.

Как-то так сделано в природе самих фракталов, что что-то есть не только в их математическом описании для нас интересное. И это-то нужно нам здесь, чтобы представить не то чтобы действие каких-то общих принципов, но сделать пока так: рассмотреть отдельные некоторые геометрические принципы и с их помощью попробовать не обобщить, но по иному взглянуть на области, которые фракталы к себе привлекают.

1. Золотая пропорция

Что-то, связанное с золотым сечением, может быть как-то представлено в такого рода задачах, как фрактальные отображения.
Золотое сечение – понятие многогранное, встречающееся во многих сферах нашей жизни. Его можно встретить, например, в пропорциях тел животных или строении растений, а можно увидеть и в строении космоса. Самые разные науки от психологии до более точных технических наук, предметы скульптуры, живописи и иных искусств дают нам наглядные примеры золотого сечения.

Один из подходов к изучению сущности живой и неживой природы заключается в выявлении в них встречаемых видов симметрии. Как считают многие специалисты, в живых организмах, в отличие от большинства неживых, используется так называемая "пентагональная" симметрия, напрямую связанная с золотым сечением.

Процесс $Z(N+1)=Z(N)^2 + C $, где $Z$ и $C$ - комплексные числа, порождает на комплексной плоскости целые миры сложных самоподобных структур.

Несмотря на кажущуюся простоту вышеприведенной формулы, образ $F(Z)$ первоначальной точки $Z$ определяется достаточно непросто:

$F(Z) = (…((((( Z^2 + C)^2 + C)^2 + C)^2 + С)^2 + С)^2 + С)^2 + С.........(*)$

В компьютерной графике используется окрашивание в различные цвета точки $Z$ в зависимости от того, в какой диапазон значений попадает образ $F(Z)$ исходной точки за некоторое выбранное число итераций.

На действительной оси для $C=(-1,0)$ имеем $F(S)=S, поскольку $S^2-1=S$, таким образом, золотое сечение $S$является неподвижной точкой данного фрактального отображения.

2. Вихрь (логарифмическая спираль)

Такие природные формы, как раковины моллюсков и другие – все они представляют собой золотые спирали (золотая спираль – частный случай логарифмической спирали, вихря).

Основу фрактального мироздания также составляют вихри, подобно космическим вихрям Декарта, заполняющие всю фрактальную плоскость.

Для демонстрации этого утверждения рассмотрим два отображения на комплексной плоскости:

1) $G (Z) = Z^2^N = (…((( Z^2 )^2 )^2)… )^2 …$ - степенная функция ;

2) фрактальное отображение $(*)$.

Легко видеть, что первый оператор порождает на комплексной плоскости логарифмическую спираль. Действительно, для некоторой начальной точки $Z_0$, имеющей полярные координаты $(r_0, j_0 )$ (здесь $j $ – полярный угол), применение оператора (т.е. возведение ее в степень) дает

$Z(k)=(Z_0)^k = (r_0^k) e^{i j_0 k}$ , где $k = 2N $.

Обозначив полярные координаты точки $Z_k = Z(k)$ через $(r_k, j_k )$, получим

$Z_k=r_k e^{i j_k}= (r_0^k) e^{i j_0 k}$ , отсюда $r_k=r_0^k, j_k =j_0 k, k = j_k / j_0$ .

Тогда $r_k = r_0^k = (r_0)^{j_k/j_0}$ или для непрерывного увеличения параметра $k$ : $r = (r_0)^{j/j_0}$.
Эта функция $r = r(j)$ определяет логарифмическую спираль – траекторию точки $Z_0$ на комплексной плоскости при возрастании параметра $k$ .

Фрактальное отображение (2) есть некоторая сумма степенных функций вида (1) с различными коэффициентами, в некотором роде суперпозиция вихревых пространств.

3. Самоподобие

Говорят, что объект самоподобен, если его можно воспроизвести путем увеличения какой-то его части. В природе самоповторение происходит на достаточно больших масштабах. Так, край облака может повторять свою клочковатую структуру от 10 км до 0,1 мм, т.е. самоподобие соблюдается в масштабе $10^8$. Облака в межзвездном пространстве, вдали от гравитационных полей соседних звезд самоподобны в еще больших масштабах – до $10^2^0$.

Сложный фрактал может содержать множество самоподобных фрагментов.

Элементом-основанием фрактального мироздания является логарифмическая спираль. Этот элемент самоподобен и, в дополнение к этому, обладает рядом интересных математических свойств. В теоретической механике и механике сплошных сред мы также встречаем эту замечательную кривую.


Как-то все это вышесказанное (пп.1-3) не так уж очень-то нам интересно, поскольку это-то известные вещи. А мы-то хотим сделать здесь иное – что-то еще услышать о новых областях от тех, кто может говорить об этом.

[Парджеттер]

Парджеттер:

Тема переносится из "Дискуссионных тем (Ф)" в "Карантин". Формулы не оформлены согласно правилам форума.
lmv2010, Вам запрещается создавать новые темы на форуме до тех пор пока Вы не исправите те, которые лежат в "Карантине".

____________________
-- 13 сен 2010, 19:03 --

Парджеттер:

Возвращено в "Дискуссионные темы (Ф)" после исправления.

[Vladimirkox]

Не знаю, что из этого выйдет, но инфы - подброшу http://www.paleo.ru/forum/index.php/topic,2120.0.html

[lmv2010]

В этой-то статье, указанной Вами, говорится о какого-то рода не то чтобы сходстве каких-то таких биологических сообществ с фракталами, но о чем-то, что еще должно бы здесь быть. Как-то ведь не геометрия важна здесь, но что-то, что могло бы и как-то делать что-то. Что-то бы еще нам хорошо бы узнать здесь.

Какие-то ведь геометрические принципы при этом не очень интересны, а как-то интересны нам другие вещи, связанные с такими-то какими-то вещами, как физика, биология и что-то еще.

Спасибо-то, что Вы как-то и откликнулись.

[zbl]

lmv2010 в сообщении #351915 писал(а):

Мне-то хотелось бы что-то здесь обсудить не просто так, но что-то еще при этом и как-то получить новое.

Тут главное -- сообразить, что же именно должно быть в результате; получить-то его уже дело техники.

То есть, фракталы отражают собой нечто, что есть независимо от нас?
То есть, они описывают какие-то одинаковые свойства разных вещей? (главное, наверно, самоподобие будет тут).
Хочется выделить это нечто?
Выделив, можно будет: а) обобщить (как-то продолжить ряд понятий, начатый фракталами), б) применить (там, где сейчас мы не думаем, что это применимо).

Наверно, можно будет квантовать механику, сказав, что время и пространство обнаруживают фрактальные структуры в некоторых условиях.
Думаю, бесперспективно: так физический смысл квантования не понять, и новый вычислительный матаппарат наверняка тоже не построить.
По крайней мере, кроме фракталов потребуется ещё что-то тут.

Можно обобщить сам матаппарат фракталов.
Например, можно построить анти-фракталы: то есть, то же самое, но наоборот -- на каждом уровне структура максимально оригинальна.
Чёткая формулировка понятий оригинальности и подобия структур даст возможность строить нечёткие фракталы (как нечёткая логика).

Ещё могут быть фракталы с дефектами.
Рассматривал кто-нибудь распространение небольших дефектов во фрактале?
Наверняка в биологии куча приложений этого будет.

В том же духе будут динамические фракталы: есть система, которая вынуждена всегда иметь только фрактальную структуру, но внешние условия меняются и она должна сменить (скачком) свою структуру на другую, но обязательно тоже фрактальную.
Задача -- какие будут тут переходы у такой системы с минимальной затратой усилий?
Это в сторону адаптивного поведения.

В общем, нужно определиться в основном с тем, где примерно будет применяться то, что нужно придумать.
Если это должен быть новый матаппарат, то одно, а, если новое применение старого матаппарата, -- то другое.
А, если вообще нужен не матаппарат, то и -- третье.

[lmv2010]

Что-то еще не хватает нам, для нашего-то понимания всего происходящего с ними, с фракталами. И как-то есть здесь еще и нечто иное, что при этом-то может быть сделано.

Что-то еще есть в мире-то, что как-то делает вещи. И это-то нечто может быть и как-то еще описано.

Что-то ведь есть еще такого рода, что что-то может дать нам здесь не то чтобы что-то новое, но и нечто, что нам-то как-то и нужно.

Чтобы мы-то делали правильно все, нам-то нужно следующее: как-то и записать все на уровне иного рода понятий, где есть что-то еще, для того, чтобы нам работать с этим.
Что-то здесь будет, что какой-то матаппарат будет этому соответствовать.

Где-то в квантовой механике есть-то одна вещь интересная, связанная с теми вещами, которые мы-то и рассматриваем, и она-то подразумевает следующее:
не как-то так делается все-то просто, чтобы нам-то делать что-то здесь каким-то способом, который и можно-то записать как обычно. Как-то и излучение-то вещества (спектральные какие-то такие процессы) с этим связано.

[lmv2010]

Как-то здесь не те процессы нужно нам рассматривать, которые все-то смотрят, не итерационные вида $Z(N+1)= F(Z(N))$, но как-то и делающие что-то.

Как-то здесь можно написать следующее, что что-то еще есть в этом случае. Мы-то берем в рассмотрение не просто как-то и форму фрактала, но еще хотим изменить сам фрактал, который включает что-то еще, кроме формы.

Пример какой-то такой может быть приведен: за фракталом стоят такие вещи, как само это число, которое как-то приводит их в действие и дает возможность образовывать что-то.

Что-то еще может быть получено здесь, но не просто так, а как-то и иным образом. Как-то здесь надо по иному подойти ко всему. Мы-то еше рассмотрим это в другом-то месте.

[druggist]

Интересны были бы простые физические модели, описывающие ситуацию появления фракталов, например, дерево, бассейн реки, система кровеносных сосудов, людские поселенияж Хотелось бы, чтобы из этих моделей вытекало количество иерархических уровней, степень ветвления и т.д.

[lmv2010]

Как-то и есть-то такие, вот что-то вроде, например, как-то и модель Ферхюльста, которая-то, правду сказать, на действительном множестве, а итерационные процессы-то у фракталов как-то и комплексные. Что значит комплекное число в физике – тут множество мнений каких-то есть.

И мы-то хотим еще чего-то. Не ситуации появления, но нечто иное еще мы-то хотели бы рассмотреть.

[ejonok]

Ну чего Вы все воду в ступе-то толчете? Уже давно (!) рассказано и расписано практическое применение фракталов: в радиолокации, радиосвязи, аудиотехнике, физике (различные направления), даже социологии. И в научных журналах куча статей. Пошарьте в инете хорошенько и найдете. К примеру, В.Н. Болотов, Ю.В. Ткач. Фрактальная система связи. Журнал технической физики, 2008, том.78, вып.9. http://journals.ioffe.ru/jtf/. Или http://www.sial.iias.spb.su. С.В. Кулешов. Фрактальное шифрование. 2004. Ну прям как маленькие!

[lmv2010]

1. Лестница вниз
.
Здесь есть множество п.т. и можно рассматривать их комбинации. По смыслу – это сеть. И она – не в механике будет, но как-то в биологии или еще на стыке наук. Она слишко широка и модели – мне не сделать. Это идея, как говорили, А. и нужно здесь не закорючки писать, а сделать что-то вроде паутины. Нет. Иного совсем вида чего…

Я не стану этого смотреть. Поэтому вставлю тут опять 6.


Пока вот так.

Cамо фрактальное отображение F(Z) представляет собой некоторый процесс, который еще можно как-то так что-то и все не изогнуть, но оформить всеми разными.
Ускорение или замедление чего-то сего моно, если есть разное.

Однако, эти мысли пока ни как не касаются художника-фракталиста, а мы, преимущественно, ведем разговор о его работе.

Самоподобные свойства большинства фракталов были рассмотрениы применительно к совокупности особых точек, однако существенную роль структуре рисунков играют также фигуры замкнутые, которые образуются и появляются особыми сериями и можно говорить о значительном сходстве, трансформации пропорций границы при смещении в другой квадрант рисунка.

Для этого попробуем рассмотреть отрицательную степень….потом.

«Омутами Мал. туда, где т..ф вода…

«Искривим» как-то и еще (попав в Скривнус) само отображение F(Z), но не смысле …..

Мы будем рассматривать не такое отображение, но как-то изменяя величину С на каждом шаге итерационном, чтобы была возможность приближаться к неподижной точке. Например, |Z|<1 и впоследствии |ZN| 0.


Момент: публиковать ничего нельзя. Это не уровень научных публикаций. Это длишь для разговоров и впоследствии через много лет, из многолетних наблюдений, вырастит что-то достойное и возможно его, обшифрив, опубликовать. Но – если сделается оно. А пока: опробуем. Рассматриваем…и т.д. «Десять лет для научного знания не возраст» - как говоривал М.В. Л.(в фильме).

Итак, при вышеупомянутом условии, мы можем рассмотреть последовательност ь С, когда |C| усремлен к нулю при возрастании N.

И что мы наблюдаем при этом?

Не выйдет наша графика за пределы окружности и как-то еще можно трактовать и рассматривать уменьшение одновременно С и образов ( в цвете), при движении к нулю.
Не есть ли это тот Мальстрем или некий еще водоворот, когда …такое одновременное устремление разных по сущности своей величин, со взаимносвязанным всего ихнего итогом, ведет к сужению чего-то вроде круга…

Планета Плутон в Козероге – лишь как-то может еще отразить что-то мимолетно вспомнившееся…

Мало всего здесь, но есть то, о чем речь.

Сложность, превосходящая воображение, есть в мире, который задается несложной итерацией. «Капля камень точит»-так понемногу, на каждой ступени этого процесса, осущестляется подробное и разнообразно-разрисованное чудо, только вот, если так позволено выразиться, та «трансфизическая» вода в мире фракталов – попадает на плоскость фрактального рисунка капля за каплей…до 35-40 итераций.
Это ее, воды, тайна. Глубина и прозрачность до уровня 35-40 и отсутствие видимости – помимо этого уровня…Там нет необходимости считать, столь мелкие изменения будут и цикл закончен у фракталиста. Нет необходимости художнику заглядывать столь глубоко, постигая то, что не привычно глазу…

Весь разговор символов и знаков программы ведется на языке «Да» и «Нет» или же по-формальному: сравнение образа функции с архетиками ( «архетик» - область или ее граница специального назначения) – на языке «И» или «Или».

«Искривлять» можно множеством способов: например

F(Z)=….x+x*(…)+x*(…+(….))+x*….и т.д.

Или как-то и еще, дав более «тяжелый» вес…(не под откос, но что…) или утяжелив что-то на очередном витке, вводя группу слагаемых внутрь собственно одночлена…

Сама структура отображения при этом не должна быть нарушена и как-то порядок строже некуда создан, поскольку хаотическое набрасывание чего ни попадя скобки не приведлет нас ни к чему, кроме пренебрежения …уважением ко всему, что есть научное созидание.

Пока все.



2. Следующее.

Уравнение Z**N+a1*Z**(N-1)+…= A
Имеет множество изолированных разрозненных корней, расбросанных по плоскости рисунка. Можно изображать подобного рода фрактальную «пыль», если диапазон А очень узок.

Можно перевести все в полярную систему координат и как-то на «лучах» кое-что смотреть, если блеснет какой-то такой «лучик» не «сухой» геометрией, но чем: здесь важно…не степень поглощаемости или… света через пыль, но плотность чего-то (еще и оформленного цветом для различных А1, А2 и т.д.). Разноцветные изолированные осколки, по смыслу – корни различных уравнений, едва видные, образуют пылевидную едва заметную радугу на темном фоне и синтез какого-либо вида всего видимого здесь на фрактальном рисунке как-то и еще включает цветовые гаммы всего разного имеющегося.

Не каждый охотник за растениями заметит почву в темноте, желая знать еще многое.

Далее. Если вспомнить серии оптические, то можно заметить множества отдельных вещей там, где есть отрицательная степень, которую мы здесь не будем рассматривать, а оформим для этого – еще иной с отрицательными показателями не многочлен, но что: понятно.

Здесь можно геометрию смотреть как-то и еще: усложняя структуру этого, добавляя члены. В комплексной форме все эти вещи как-то и так завязаны на конфигурацию |Z|=Di.

Это и есть т.н. «лужа», множество концентрических фигур и разного всякого. В нее провалится всякий, кто не знаком досконально с предметом, о котором речь...

Не хаос, а пыль…Кольца вокруг планет……












Усеченный полет Леви – потом совсем обсудить.
Усекли.


2) Маленькое замечание. Эшер. Платоновы тела.
Многогранники. И Пифагорово что...
Речь о форме кристаллов... Потом. Забыла идею уже, к сожалению...
"5" - в живой природе встречается... 360/5 или что-то так...

[arseniiv]

ejonok в сообщении #372389 писал(а):

Ну чего Вы все воду в ступе-то толчете?

Для справки: сообщение перед вашим было написано в сентябре 2010 года.

[Toucan]

lmv2010 в сообщении #351915 писал(а):

Что-то еще необходимо нам для того, чтобы получать-то здесь какие-то всесторонние не то чтобы обсуждения, но что-то еще при этом сделать.

lmv2010 в сообщении #733241 писал(а):

Здесь есть множество п.т. и можно рассматривать их комбинации. По смыслу – это сеть. И она – не в механике будет, но как-то в биологии или еще на стыке наук. Она слишко широка и модели – мне не сделать. Это идея, как говорили, А. и нужно здесь не закорючки писать, а сделать что-то вроде паутины. Нет. Иного совсем вида чего…

Я не стану этого смотреть. Поэтому вставлю тут опять 6.

lmv2010, предупреждение за бредогенерацию. Тема закрыта.